質量 $m$ のロケットが、一定の推進力 $f$ で $x$ 軸の正の方向に加速される。時刻 $t=0$ での位置は原点、初速は $0$ である。ロケットには、比例係数 $\alpha$ の速度に比例する空気抵抗が働く。重力の影響はなく、ロケットの質量は変化しないものとする。この条件のもとで、以下の問いに答える。 (1) ロケットの運動方程式の $x$ 成分を書け。 (2) 運動方程式を解いて、ロケットの位置 $x$ を時刻 $t$ の関数として表せ。ただし、積分定数は問題に書かれた初期条件を用いて決定せよ。 (3) ロケットの到達できる最大速度を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ のロケットが、一定の推進力 $f$ で $x$ 軸の正の方向に加速される。時刻 $t=0$ での位置は原点、初速は $0$ である。ロケットには、比例係数 $\alpha$ の速度に比例する空気抵抗が働く。重力の影響はなく、ロケットの質量は変化しないものとする。この条件のもとで、以下の問いに答える。

(1) ロケットの運動方程式の $x$ 成分を書け。

(2) 運動方程式を解いて、ロケットの位置 $x$ を時刻 $t$ の関数として表せ。ただし、積分定数は問題に書かれた初期条件を用いて決定せよ。

(3) ロケットの到達できる最大速度を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式の記述:

ロケットに働く力は、推進力 $f$ と空気抵抗 $-\alpha v$ (ここで $v$ は速度) である。したがって、運動方程式は以下のようになる。

$m \frac{dv}{dt} = f - \alpha v$

(2) 運動方程式を解く:

まず、$v$ を $t$ の関数として求める。運動方程式を変形して変数分離を行う。

$\frac{dv}{f - \alpha v} = \frac{dt}{m}$

両辺を積分する。

$\int \frac{dv}{f - \alpha v} = \int \frac{dt}{m}$

$-\frac{1}{\alpha} \ln |f - \alpha v| = \frac{t}{m} + C_1$

ここで $C_1$ は積分定数。初期条件 $t=0$ で $v=0$ を代入すると、

$-\frac{1}{\alpha} \ln |f| = C_1$

したがって、

$-\frac{1}{\alpha} \ln |f - \alpha v| = \frac{t}{m} - \frac{1}{\alpha} \ln |f|$

$\ln |f - \alpha v| - \ln |f| = -\frac{\alpha t}{m}$

$\ln \left| \frac{f - \alpha v}{f} \right| = -\frac{\alpha t}{m}$

$\frac{f - \alpha v}{f} = e^{-\frac{\alpha t}{m}}$

$f - \alpha v = f e^{-\frac{\alpha t}{m}}$

$\alpha v = f (1 - e^{-\frac{\alpha t}{m}})$

$v(t) = \frac{f}{\alpha} (1 - e^{-\frac{\alpha t}{m}})$

次に、$x$ を $t$ の関数として求める。$v = \frac{dx}{dt}$ であるから、

$\frac{dx}{dt} = \frac{f}{\alpha} (1 - e^{-\frac{\alpha t}{m}})$

両辺を積分する。

$\int dx = \int \frac{f}{\alpha} (1 - e^{-\frac{\alpha t}{m}}) dt$

$x(t) = \frac{f}{\alpha} \left( t + \frac{m}{\alpha} e^{-\frac{\alpha t}{m}} \right) + C_2$

初期条件 $t=0$ で $x=0$ を代入すると、

$0 = \frac{f}{\alpha} \left( 0 + \frac{m}{\alpha} e^{0} \right) + C_2$

$0 = \frac{f}{\alpha} \frac{m}{\alpha} + C_2$

$C_2 = -\frac{fm}{\alpha^2}$

したがって、

$x(t) = \frac{f}{\alpha} \left( t + \frac{m}{\alpha} e^{-\frac{\alpha t}{m}} \right) - \frac{fm}{\alpha^2}$

$x(t) = \frac{f}{\alpha} t + \frac{fm}{\alpha^2} (e^{-\frac{\alpha t}{m}} - 1)$

(3) 最大速度の計算:

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{\alpha t}{m}} \to 0$ であるから、速度 $v(t)$ は、

$v_{max} = \lim_{t \to \infty} v(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{f}{\alpha} (1 - e^{-\frac{\alpha t}{m}}) = \frac{f}{\alpha}$

3. 最終的な答え

(1) 運動方程式: $m \frac{dv}{dt} = f - \alpha v$

(2) 位置: $x(t) = \frac{f}{\alpha} t + \frac{fm}{\alpha^2} (e^{-\frac{\alpha t}{m}} - 1)$

(3) 最大速度: $v_{max} = \frac{f}{\alpha}$