質量 $2M$ の質点Qが、初速度 $V_0$ で水平面上を運動し、距離 $R$ 進んだ後、静止している質量 $M$ の質点Pと弾性衝突する。 (i) 質点Qが点B（衝突直前）で持つ速さ $V_A$ を求める。 (ii) 質点Pは円弧に沿って点Aを通過し、斜面に沿って上昇する。質点Pの最高到達点の高さ $H$ を求める。

1. 問題の内容

質量 $2M$ の質点Qが、初速度 $V_0$ で水平面上を運動し、距離 $R$ 進んだ後、静止している質量 $M$ の質点Pと弾性衝突する。

(i) 質点Qが点B（衝突直前）で持つ速さ $V_A$ を求める。

(ii) 質点Pは円弧に沿って点Aを通過し、斜面に沿って上昇する。質点Pの最高到達点の高さ $H$ を求める。

2. 解き方の手順

(i) 質点Qが点Bに到達する直前の速さ $V_A$ を求める。

質点Qには動摩擦力 $f = \mu (2M)g = 2\mu Mg$ が働く。

仕事とエネルギーの関係より、

$\frac{1}{2}(2M)V_A^2 - \frac{1}{2}(2M)V_0^2 = -fR$

$MV_A^2 - MV_0^2 = -2\mu MgR$

$V_A^2 = V_0^2 - 2\mu gR$

$V_A = \sqrt{V_0^2 - 2\mu gR}$

(ii) 質点Pの最高到達点の高さ $H$ を求める。

点Bでの弾性衝突を考える。

衝突前後での運動量保存則より

$2MV_A = MV'_P + 2MV'_Q$

$2V_A = V'_P + 2V'_Q$ ...(1)

弾性衝突なので、反発係数 $e = 1$ より

$e = \frac{V'_P - V'_Q}{V_A - 0} = 1$

$V'_P - V'_Q = V_A$ ...(2)

(1)と(2)より

$V'_P = \frac{4}{3}V_A = \frac{4}{3}\sqrt{V_0^2 - 2\mu gR}$

$V'_Q = \frac{1}{3}V_A = \frac{1}{3}\sqrt{V_0^2 - 2\mu gR}$

点Aでの速度 $V_A'$ を求める。

点Bから点Aまで円弧を移動する間、質点Pには重力のみが作用する。力学的エネルギー保存則より

$\frac{1}{2}MV_A'^2 - \frac{1}{2}MV_P'^2 = -MgR(1 - \cos(60^\circ))$

$\frac{1}{2}MV_A'^2 = \frac{1}{2}M(\frac{4}{3}\sqrt{V_0^2 - 2\mu gR})^2 - MgR(1-\frac{1}{2})$

$V_A'^2 = \frac{16}{9}(V_0^2 - 2\mu gR) - gR$

$V_A'^2 = \frac{16}{9}V_0^2 - (\frac{32}{9}+1)gR$

$V_A'^2 = \frac{16}{9}V_0^2 - \frac{41}{9}gR$

斜面上での運動を考える。

斜面となす角が60度なので、斜面に沿った方向の重力加速度は $g\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}g$

斜面上で停止するまでの距離を $L$ とすると、

動摩擦力 $f' = \mu Mg\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\mu Mg$

$\frac{1}{2}MV_A'^2 = MgL\sin(60^\circ) + f'L$

$\frac{1}{2}MV_A'^2 = MgL(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\mu}{2})$

$V_A'^2 = gL(\sqrt{3}+\mu)$

$L = \frac{V_A'^2}{g(\sqrt{3}+\mu)} = \frac{\frac{16}{9}V_0^2 - \frac{41}{9}gR}{g(\sqrt{3}+\mu)} = \frac{16V_0^2 - 41gR}{9g(\sqrt{3}+\mu)}$

高さ $H$ は

$H = L\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}L}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16V_0^2 - 41gR}{9g(\sqrt{3}+\mu)} = \frac{16\sqrt{3}V_0^2 - 41\sqrt{3}gR}{18g(\sqrt{3}+\mu)}$

$H = \frac{16\sqrt{3}V_0^2 + (-41\sqrt{3})gR}{18(\mu + \sqrt{3})g}$

(i) $V_A = \sqrt{V_0^2 + (-2)\mu gR}$

(ii) $H = \frac{\sqrt{768}V_0^2 + (-41\sqrt{3})\mu gR}{(18\mu + \sqrt{972})g}$

3. 最終的な答え

(i) $n_a = -2$

(ii) $n_b = 768, n_c = 0, n_d = (41\sqrt{3})^2 = 5043, n_e = 18, n_f = 972$