原子間に働く引力の最大値を与える原子間距離 $r_M$ を $\sigma$ で表すと、$r_M = (\frac{B}{7})^{\frac{1}{6}} \sigma$ と表される。このとき、$B$ として最も適した整数を求める。

1. 問題の内容

原子間に働く引力の最大値を与える原子間距離 $r_M$ を $\sigma$ で表すと、$r_M = (\frac{B}{7})^{\frac{1}{6}} \sigma$ と表される。このとき、$B$ として最も適した整数を求める。

2. 解き方の手順

原子間ポテンシャルの代表的なモデルである Lennard-Jones ポテンシャルは、次のように表される。

$V(r) = 4\epsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{6} \right]$

ここで、$r$ は原子間距離、$\epsilon$ はポテンシャルの深さ、$\sigma$ は原子間距離が $V(r) = 0$ となる距離である。

原子間に働く力 $F(r)$ は、ポテンシャル $V(r)$ の負の勾配として計算される。

$F(r) = - \frac{dV(r)}{dr} = - 4\epsilon \left[ -12\frac{\sigma^{12}}{r^{13}} + 6\frac{\sigma^6}{r^7} \right] = 24\epsilon \left[ \frac{\sigma^{12}}{r^{13}} - \frac{\sigma^6}{2r^7} \right]$

引力の最大値を与える距離 $r_M$ は、$F(r)$ を $r$ で微分したものがゼロになる点で求められる。

$\frac{dF(r)}{dr} = 24\epsilon \left[ -13\frac{\sigma^{12}}{r^{14}} + \frac{7\sigma^6}{2r^8} \right] = 0$

$-13\frac{\sigma^{12}}{r^{14}} + \frac{7\sigma^6}{2r^8} = 0$

$\frac{7\sigma^6}{2r^8} = 13\frac{\sigma^{12}}{r^{14}}$

$\frac{7}{2} = 13 \frac{\sigma^6}{r^6}$

$r^6 = \frac{26}{7} \sigma^6$

$r = \left( \frac{26}{7} \right)^{\frac{1}{6}} \sigma$

問題文より、$r_M = \left( \frac{B}{7} \right)^{\frac{1}{6}} \sigma$ であるため、$\frac{B}{7} = \frac{26}{7}$ となる。したがって、$B = 26$ である。

3. 最終的な答え

26