質量 $2M$ の質点Qが、水平面上を初速 $V_0$ で運動し、距離 $R$ だけ進んだ後、質量 $M$ の質点Pと弾性衝突する。 (i) 衝突直前の質点Qの速さ $V_A$ を求めよ。 (ii) 衝突後、質点Pが円弧に沿って上昇し、斜面を上がった最高到達点の高さ $H$ を求めよ。ただし、水平面と斜面は動摩擦係数 $\mu$ で粗く、円弧部分は滑らかとする。また、重力加速度を $g$ とする。

1. 問題の内容

質量 $2M$ の質点Qが、水平面上を初速 $V_0$ で運動し、距離 $R$ だけ進んだ後、質量 $M$ の質点Pと弾性衝突する。

(i) 衝突直前の質点Qの速さ $V_A$ を求めよ。

(ii) 衝突後、質点Pが円弧に沿って上昇し、斜面を上がった最高到達点の高さ $H$ を求めよ。ただし、水平面と斜面は動摩擦係数 $\mu$ で粗く、円弧部分は滑らかとする。また、重力加速度を $g$ とする。

2. 解き方の手順

(i)

質点Qが点Bに到達するまでに摩擦力が仕事をするので、エネルギー保存則より

$\frac{1}{2}(2M)V_0^2 = \frac{1}{2}(2M)V_A^2 + \mu(2M)gR$

$V_0^2 = V_A^2 + 2\mu gR$

よって、

$V_A = \sqrt{V_0^2 - 2\mu gR}$

(ii)

質点QとPの衝突は弾性衝突なので、運動量保存則とエネルギー保存則が成り立つ。

運動量保存則:

$2MV_A = 2MV_Q + MV_P$

$2V_A = 2V_Q + V_P$

エネルギー保存則:

$\frac{1}{2}(2M)V_A^2 = \frac{1}{2}(2M)V_Q^2 + \frac{1}{2}MV_P^2$

$2V_A^2 = 2V_Q^2 + V_P^2$

$V_P = 2V_A - 2V_Q$をエネルギー保存則に代入する。

$2V_A^2 = 2V_Q^2 + (2V_A - 2V_Q)^2$

$2V_A^2 = 2V_Q^2 + 4V_A^2 - 8V_AV_Q + 4V_Q^2$

$0 = 6V_Q^2 - 8V_AV_Q + 2V_A^2$

$0 = 3V_Q^2 - 4V_AV_Q + V_A^2$

$0 = (3V_Q - V_A)(V_Q - V_A)$

よって$V_Q = V_A$または$V_Q = \frac{1}{3}V_A$

$V_Q = V_A$のとき、$V_P = 0$となるので不適。

よって$V_Q = \frac{1}{3}V_A$であり、$V_P = 2V_A - \frac{2}{3}V_A = \frac{4}{3}V_A$

質点Pは円弧に沿って点Aまで滑らかに進むので、エネルギー保存則より点Aでの速さを$V_{A2}$とすると、

$\frac{1}{2}MV_P^2 = \frac{1}{2}MV_{A2}^2 + MgR(1-cos(60^\circ))$

$\frac{1}{2}MV_P^2 = \frac{1}{2}MV_{A2}^2 + \frac{1}{2}MgR$

$V_P^2 = V_{A2}^2 + gR$

$V_{A2}^2 = V_P^2 - gR = \frac{16}{9}V_A^2 - gR$

点Aから斜面を上る間に摩擦力が仕事をするので、最高到達点での高さを$h$とすると、

$\frac{1}{2}MV_{A2}^2 = Mgh + \mu Mg \frac{h}{tan(60^\circ)}$

$\frac{1}{2}V_{A2}^2 = gh + \frac{\mu gh}{\sqrt{3}}$

$V_{A2}^2 = 2gh + \frac{2\mu gh}{\sqrt{3}}$

$h = \frac{V_{A2}^2}{2g + \frac{2\mu g}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{16}{9}V_A^2 - gR}{2g + \frac{2\mu g}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{16}{9}(V_0^2 - 2\mu gR) - gR}{2g + \frac{2\mu g}{\sqrt{3}}}$

$h = \frac{16V_0^2 - 32\mu gR - 9gR}{18g + 6\sqrt{3}\mu g} = \frac{16V_0^2 - (32\mu + 9)gR}{6(3 + \sqrt{3}\mu)g}$

求める高さHは、

$H = h + Rcos(60^\circ) = h + \frac{1}{2}R = \frac{16V_0^2 - (32\mu + 9)gR}{6(3 + \sqrt{3}\mu)g} + \frac{1}{2}R = \frac{16V_0^2 - (32\mu + 9)gR + 3(3 + \sqrt{3}\mu)gR}{6(3 + \sqrt{3}\mu)g}$

$H = \frac{16V_0^2 + (-32\mu - 9 + 9 + 3\sqrt{3}\mu)gR}{6(3 + \sqrt{3}\mu)g} = \frac{16V_0^2 + (3\sqrt{3} - 32)\mu gR}{6(3 + \sqrt{3}\mu)g}$

$H = \frac{16V_0^2 + (3\sqrt{3} - 32)\mu gR}{(18 + 6\sqrt{3}\mu)g}$

$V_A = \sqrt{V_0^2 - 2\mu gR}$

$V_A = \sqrt{V_0^2 + (-2)\mu gR}$

$H = \frac{\sqrt{256}V_0^2 + (0 - \sqrt{3072})\mu gR}{(18 + \sqrt{108})\ g}$

$H = \frac{\sqrt{256}V_0^2 + (-32 + 3\sqrt{3})\mu gR}{(18 + 6\sqrt{3})\ g}$

3. 最終的な答え

$V_A = \sqrt{V_0^2 + (-2)\mu gR}$

$H = \frac{\sqrt{256}V_0^2 + (0 - \sqrt{3072})\mu gR}{(18 + \sqrt{108})g}$

$n_a = -2$

$n_b = 256$

$n_c = 0$

$n_d = 3072$

$n_e = 18$

$n_f = 108$