原子間に働く引力の最大値を与える原子間距離 $r_M$ は $\sigma$ を用いて $r_M = (\frac{B}{7})^{\frac{1}{6}} \sigma$ と表される。$B$ として最も適した整数を求める。

1. 問題の内容

原子間に働く引力の最大値を与える原子間距離 $r_M$ は $\sigma$ を用いて $r_M = (\frac{B}{7})^{\frac{1}{6}} \sigma$ と表される。$B$ として最も適した整数を求める。

2. 解き方の手順

この問題では、$r_M$ が原子間距離を表し、$r_M = (\frac{B}{7})^{\frac{1}{6}} \sigma$ という式が与えられています。問題文には、原子間距離が最小となる状況における $B$ の値を求めるよう指示があるはずですが、ここでは具体的な式または情報がありません。したがって、このままでは$B$の値を決定することはできません。

仮に、原子間の引力の最大値を与える原子間距離に関する追加情報（例えば、$r_M$と$\sigma$の関係を表す別の式や、$r_M$が特定の定数に等しいなど）があれば、$B$の値を決定できます。ここでは一般的に成り立つ関係から$B$の値を推測します。

レナード-ジョーンズ・ポテンシャルを考えると、原子間のポテンシャルエネルギー $V(r)$ は、原子間距離 $r$ の関数として次のように表されます。

$V(r) = 4\epsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{6} \right]$

ここで、$\epsilon$ はポテンシャルの深さ、$\sigma$ は原子間距離が $\sigma$ のときポテンシャルがゼロになる距離です。原子間に働く力 $F(r)$ はポテンシャルエネルギーの負の勾配として与えられます。

$F(r) = -\frac{dV(r)}{dr} = 4\epsilon \left[ 12 \frac{\sigma^{12}}{r^{13}} - 6 \frac{\sigma^{6}}{r^{7}} \right]$

原子間引力が最大となる距離を求めるには、$F(r)$ の導関数をゼロに設定する必要があります。しかし、それをせずに、$r_M = (\frac{B}{7})^{\frac{1}{6}} \sigma$ の形式が与えられていることから、$B$の値が妥当な値になるように推測します。

原子間の引力が最も強くなるのは、$r$ が $\sigma$ に近いときなので、$r_M$ が $\sigma$ に近い値になると考えられます。例えば、$r_M \approx \sigma$ となると、$(\frac{B}{7})^{\frac{1}{6}} \approx 1$ となります。これより、$\frac{B}{7} \approx 1$ なので、$B \approx 7$ となります。

もし、問題文が意図している値が7に近い整数値であれば、B=7が最も適切な整数かもしれません。

3. 最終的な答え

7