質量 $m$ の小球が高さ $h$ の位置から滑り台を滑り降り、質量 $2m$ の台車に乗り、台車と共に高さ $H$ まで登る問題です。摩擦や空気抵抗は無視できるものとして、以下の問いに答えます。 (1) 小球が滑り台を下るまでに保存されるものはどれか。 (2) 小球が台車に乗ってから固定されるまでに保存されるものはどれか。 (3) 小球が台車上で固定された後の速さ $V$ は $v$ の何倍か。 (4) $H$ は $h$ の何倍か。 (5) 高さ $H$ に至った時までに失った力学的エネルギーは $mgh$ の何倍か。

1. 問題の内容

質量 $m$ の小球が高さ $h$ の位置から滑り台を滑り降り、質量 $2m$ の台車に乗り、台車と共に高さ $H$ まで登る問題です。摩擦や空気抵抗は無視できるものとして、以下の問いに答えます。

(1) 小球が滑り台を下るまでに保存されるものはどれか。

(2) 小球が台車に乗ってから固定されるまでに保存されるものはどれか。

(3) 小球が台車上で固定された後の速さ $V$ は $v$ の何倍か。

(4) $H$ は $h$ の何倍か。

(5) 高さ $H$ に至った時までに失った力学的エネルギーは $mgh$ の何倍か。

2. 解き方の手順

(1) 小球が滑り台を下る間は、重力と垂直抗力のみが作用し、垂直抗力は仕事をしないため、力学的エネルギーが保存されます。したがって、小球の力学的エネルギーが保存されます。

(2) 小球が台車に乗ってから固定されるまでは、小球と台車の間に摩擦力が働き、運動量の水平成分が保存されます。運動量の和が保存されます。

(3) 小球が台車に衝突する直前の速さを $v$ とすると、力学的エネルギー保存則より、

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

$v = \sqrt{2gh}$

小球と台車が一体となった後の速さを $V$ とすると、運動量保存則より、

$mv = (m + 2m)V$

$V = \frac{1}{3}v = \frac{1}{3}\sqrt{2gh}$

したがって、

$V = \frac{1}{3}v$

(4) 高さ $H$ に達したとき、運動エネルギーは0になるので、力学的エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}(m + 2m)V^2 = (m + 2m)gH$

$\frac{1}{2} \times 3m \times (\frac{1}{3}v)^2 = 3mgH$

$\frac{1}{2} \times 3m \times \frac{1}{9} (2gh) = 3mgH$

$\frac{1}{3}mgh = 3mgH$

$H = \frac{1}{9}h$

(5) 最初に小球が持っていた力学的エネルギーは $mgh$ です。高さ $H$ に達したときの力学的エネルギーは $(m+2m)gH = 3mgH = 3mg(\frac{1}{9}h) = \frac{1}{3}mgh$ です。失った力学的エネルギーは、

$mgh - \frac{1}{3}mgh = \frac{2}{3}mgh$

よって、$\frac{2}{3}$ 倍です。

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 3

(3) 5

(4) 7

(5) 6