地上から高さ $h$ [m] の高さで地球を回る人工衛星の速さと周期を求めよ。ただし、地球の半径を $R$ [m]、地表での重力加速度の大きさを $g$ [m/s^2] とする。

1. 問題の内容

地上から高さ $h$ [m] の高さで地球を回る人工衛星の速さと周期を求めよ。ただし、地球の半径を $R$ [m]、地表での重力加速度の大きさを $g$ [m/s^2] とする。

2. 解き方の手順

人工衛星の質量を $m$、速さを $v$、周期を $T$ とする。

人工衛星が地球を回る半径は $R + h$ となる。

人工衛星に働く万有引力 $F$ は、

$F = G \frac{Mm}{(R+h)^2}$

ここで、$G$ は万有引力定数、$M$ は地球の質量である。

地表での重力加速度 $g$ は、

$g = G \frac{M}{R^2}$

したがって、$GM = gR^2$ となる。

これより、$F$ は、

$F = \frac{gR^2 m}{(R+h)^2}$

となる。

人工衛星の運動方程式は、

$m \frac{v^2}{R+h} = F$

であるから、

$m \frac{v^2}{R+h} = \frac{gR^2 m}{(R+h)^2}$

$v^2 = \frac{gR^2}{R+h}$

$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}} = R \sqrt{\frac{g}{R+h}}$

周期 $T$ は、

$T = \frac{2 \pi (R+h)}{v} = \frac{2 \pi (R+h)}{R \sqrt{\frac{g}{R+h}}} = \frac{2 \pi (R+h)}{R} \sqrt{\frac{R+h}{g}} = \frac{2 \pi (R+h)^{\frac{3}{2}}}{R \sqrt{g}}$

3. 最終的な答え

人工衛星の速さ: $v = R \sqrt{\frac{g}{R+h}}$

人工衛星の周期: $T = \frac{2 \pi (R+h)^{\frac{3}{2}}}{R \sqrt{g}}$