質量 $m$ の物体を高さ $h_0$ から初速度 $v_0$ で水平に打ち出した時、粘性抵抗が働くとする。このとき、運動方程式を解いて、任意の時刻 $t$ における物体の速度を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g$、粘性抵抗の比例係数を $b$ とする。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体を高さ $h_0$ から初速度 $v_0$ で水平に打ち出した時、粘性抵抗が働くとする。このとき、運動方程式を解いて、任意の時刻 $t$ における物体の速度を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを $g$、粘性抵抗の比例係数を $b$ とする。

2. 解き方の手順

まず、水平方向（$x$軸）と鉛直方向（$y$軸）の運動方程式を立てる。

水平方向：

$m \frac{dv_x}{dt} = -bv_x$

鉛直方向：

$m \frac{dv_y}{dt} = -mg - bv_y$

これらの微分方程式を解く。

水平方向の解法：

$\frac{dv_x}{dt} = -\frac{b}{m} v_x$

$\int \frac{dv_x}{v_x} = -\frac{b}{m} \int dt$

$\ln|v_x| = -\frac{b}{m} t + C_1$

$v_x = e^{-\frac{b}{m}t + C_1} = e^{C_1} e^{-\frac{b}{m}t} = A e^{-\frac{b}{m}t}$

初期条件 $t=0$ で $v_x = v_0$ より、

$v_0 = A e^0 = A$

したがって、

$v_x(t) = v_0 e^{-\frac{b}{m}t}$

鉛直方向の解法：

$\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{b}{m} v_y$

$\frac{dv_y}{dt} + \frac{b}{m} v_y = -g$

この微分方程式を解くために積分因子 $e^{\int \frac{b}{m} dt} = e^{\frac{b}{m}t}$ をかける。

$e^{\frac{b}{m}t} \frac{dv_y}{dt} + \frac{b}{m} e^{\frac{b}{m}t} v_y = -g e^{\frac{b}{m}t}$

$\frac{d}{dt} (v_y e^{\frac{b}{m}t}) = -g e^{\frac{b}{m}t}$

$\int \frac{d}{dt} (v_y e^{\frac{b}{m}t}) dt = -g \int e^{\frac{b}{m}t} dt$

$v_y e^{\frac{b}{m}t} = -g \frac{m}{b} e^{\frac{b}{m}t} + C_2$

$v_y = -\frac{mg}{b} + C_2 e^{-\frac{b}{m}t}$

初期条件 $t=0$ で $v_y = 0$ より、

$0 = -\frac{mg}{b} + C_2 e^0 = -\frac{mg}{b} + C_2$

$C_2 = \frac{mg}{b}$

したがって、

$v_y(t) = -\frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} e^{-\frac{b}{m}t} = -\frac{mg}{b} (1 - e^{-\frac{b}{m}t})$

3. 最終的な答え

$v_x(t) = v_0 e^{-\frac{b}{m}t}$

$v_y(t) = -\frac{mg}{b} (1 - e^{-\frac{b}{m}t})$