問題2-15は、質量$m$の物体を高さ$h$から初速度0で鉛直下方に自由落下させる際に、慣性抵抗が働く場合の運動方程式を解き、任意の時刻$t$における物体の速度$v(t)$を求め、その速度がどのように変化するかを説明するというものです。重力加速度の大きさを$g$、慣性抵抗の比例係数を$b$とします。

1. 問題の内容

問題2-15は、質量$m$の物体を高さ$h$から初速度0で鉛直下方に自由落下させる際に、慣性抵抗が働く場合の運動方程式を解き、任意の時刻$t$における物体の速度$v(t)$を求め、その速度がどのように変化するかを説明するというものです。重力加速度の大きさを$g$、慣性抵抗の比例係数を$b$とします。

2. 解き方の手順

まず、運動方程式を立てます。鉛直下向きを正とすると、運動方程式は以下のようになります。

$m \frac{dv}{dt} = mg - bv$

ここで、$v$は物体の速度、$t$は時間、$m$は質量、$g$は重力加速度、$b$は慣性抵抗の比例係数です。

この微分方程式を解きます。まず、変数分離を行います。

$\frac{dv}{mg - bv} = \frac{dt}{m}$

両辺を積分します。

$\int \frac{dv}{mg - bv} = \int \frac{dt}{m}$

左辺の積分は $-\frac{1}{b} \ln|mg - bv|$、右辺の積分は $\frac{t}{m} + C$ (Cは積分定数) となります。

$-\frac{1}{b} \ln|mg - bv| = \frac{t}{m} + C$

$\ln|mg - bv| = -\frac{bt}{m} - bC$

$mg - bv = Ae^{-\frac{bt}{m}}$ (ここで $A = e^{-bC}$)

初期条件 $t=0$ で $v=0$ を代入すると、$mg = A$ となります。

$mg - bv = mg e^{-\frac{bt}{m}}$

$bv = mg(1 - e^{-\frac{bt}{m}})$

$v(t) = \frac{mg}{b}(1 - e^{-\frac{bt}{m}})$

時間が十分に経過すると、$t \rightarrow \infty$ で $e^{-\frac{bt}{m}} \rightarrow 0$ となるため、終端速度は $v_{\infty} = \frac{mg}{b}$ となります。

3. 最終的な答え

任意の時刻$t$における物体の速度は、

$v(t) = \frac{mg}{b}(1 - e^{-\frac{bt}{m}})$

物体の速度は時間とともに増大し、十分に時間が経過すると終端速度 $\frac{mg}{b}$ に近づきます。