間隔が $l$ の平行平板コンデンサの中に、厚さ $d$ の金属板を挿入した場合と、同じ寸法の誘電体を挿入した場合の静電容量の比 $C_0/C_1$ を求める問題です。ただし、$l > d$ とし、極板面積は $S$ で、両極板には $\pm Q$ の電荷が与えられているとします。

1. 問題の内容

間隔が $l$ の平行平板コンデンサの中に、厚さ $d$ の金属板を挿入した場合と、同じ寸法の誘電体を挿入した場合の静電容量の比 $C_0/C_1$ を求める問題です。ただし、$l > d$ とし、極板面積は $S$ で、両極板には $\pm Q$ の電荷が与えられているとします。

2. 解き方の手順

(i) 金属板を挿入した場合

極板間の電場 $E$ は $E = \frac{D}{\epsilon_0} = \frac{Q}{S\epsilon_0}$ であり、金属板内では電場は 0 です。

したがって、電位差 $V$ は $V = E(l - d) = \frac{Q(l - d)}{S\epsilon_0}$ となります。

静電容量 $C_0$ は、$C_0 = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{Q(l-d)}{S\epsilon_0}} = \frac{\epsilon_0 S}{l - d}$ となります。

(ii) 誘電体を挿入した場合

誘電体中の電束密度は $D = \frac{Q}{S}$ であり、誘電体中の電場の強さは $E' = \frac{D}{\epsilon}$ となります。空気中の電場の強さは $E = \frac{D}{\epsilon_0}$ です。

したがって、電位差 $V$ は $V = \frac{D}{\epsilon_0}(l - d) + \frac{D}{\epsilon}d = \frac{Q}{S} \left(\frac{l - d}{\epsilon_0} + \frac{d}{\epsilon}\right)$ となります。

静電容量 $C_1$ は、$C_1 = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{Q}{S} \left(\frac{l - d}{\epsilon_0} + \frac{d}{\epsilon}\right)} = \frac{S}{\frac{l - d}{\epsilon_0} + \frac{d}{\epsilon}} = \frac{\epsilon_0 S}{l - d + \frac{d \epsilon_0}{\epsilon}}$ となります。

静電容量の比 $\frac{C_0}{C_1}$ は、

$\frac{C_0}{C_1} = \frac{\frac{\epsilon_0 S}{l - d}}{\frac{\epsilon_0 S}{l - d + \frac{d \epsilon_0}{\epsilon}}} = \frac{l - d + \frac{d \epsilon_0}{\epsilon}}{l - d} = 1 + \frac{d \epsilon_0}{\epsilon (l - d)}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{C_0}{C_1} = 1 + \frac{d \epsilon_0}{(l - d)\epsilon}$