4つの不等式 $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x+y \le 6$, $x+2y \le 6$ をすべて満たすとき、$2x+3y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

4つの不等式 $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x+y \le 6$, $x+2y \le 6$ をすべて満たすとき、$2x+3y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を満たす領域を図示します。不等式 $x \ge 0$, $y \ge 0$ はそれぞれ $y$ 軸と $x$ 軸より右側、上側の領域を表します。不等式 $2x+y \le 6$ は直線 $2x+y = 6$ の下側の領域、$x+2y \le 6$ は直線 $x+2y = 6$ の下側の領域を表します。したがって、これら4つの不等式をすべて満たす領域は、四角形とその内部になります。四角形の頂点は、これらの直線の交点です。

それぞれの交点を求めます。

- $x=0$ と $y=0$ の交点は $(0, 0)$

- $x=0$ と $x+2y=6$ の交点は $(0, 3)$

- $y=0$ と $2x+y=6$ の交点は $(3, 0)$

- $2x+y=6$ と $x+2y=6$ の交点は、連立方程式を解くことで求めます。

$2x+y=6$

$x+2y=6$

1番目の式から2番目の式を2倍したものを引くと、$2x+y - 2(x+2y) = 6 - 2(6)$ より、$-3y = -6$ となり、$y=2$ を得ます。

$y=2$ を $2x+y=6$ に代入すると、$2x+2=6$ より、$2x=4$ となり、$x=2$ を得ます。したがって、交点は $(2, 2)$ です。

領域の頂点は $(0, 0), (3, 0), (2, 2), (0, 3)$ です。

$k = 2x+3y$ とおくと、$y = -\frac{2}{3}x + \frac{k}{3}$ と変形できます。これは傾きが $-\frac{2}{3}$、$y$ 切片が $\frac{k}{3}$ である直線を表します。この直線が領域Aと交わるように、$k$ を変化させます。$\frac{k}{3}$が最大になるのは、直線が点$(2, 2)$を通るときで、$k$ が最小になるのは、直線が点$(0, 0)$を通るときです。

- $(2, 2)$ を通るとき、$k = 2(2) + 3(2) = 4+6 = 10$

- $(0, 0)$ を通るとき、$k = 2(0) + 3(0) = 0$

したがって、最大値は10、最小値は0です。

3. 最終的な答え

最大値: 10

最小値: 0