質量 $4.0 \times 10^{24} kg$ の惑星から $1.3 \times 10^{10} m$ だけ離れたところに小物体を置き、静かに離した。惑星からの距離が $6.7 \times 10^9 m$ の地点での小物体の速さを求めよ。ただし、万有引力定数を $6.7 \times 10^{-11} N \cdot m^2 / kg^2$ とする。

1. 問題の内容

質量 $4.0 \times 10^{24} kg$ の惑星から $1.3 \times 10^{10} m$ だけ離れたところに小物体を置き、静かに離した。惑星からの距離が $6.7 \times 10^9 m$ の地点での小物体の速さを求めよ。ただし、万有引力定数を $6.7 \times 10^{-11} N \cdot m^2 / kg^2$ とする。

2. 解き方の手順

エネルギー保存則を利用して解きます。

初期状態（惑星から $1.3 \times 10^{10} m$ の地点で静止）のエネルギーと、惑星から $6.7 \times 10^9 m$ の地点でのエネルギーは等しい。

初期状態のエネルギー $E_1$ は、万有引力による位置エネルギーのみで、運動エネルギーはゼロ。

$E_1 = -G \frac{Mm}{r_1}$

ここで、

$G = 6.7 \times 10^{-11} N \cdot m^2 / kg^2$ (万有引力定数)

$M = 4.0 \times 10^{24} kg$ (惑星の質量)

$m$ (小物体の質量)

$r_1 = 1.3 \times 10^{10} m$ (初期の惑星からの距離)

惑星から $6.7 \times 10^9 m$ の地点でのエネルギー $E_2$ は、万有引力による位置エネルギーと運動エネルギーの和。

$E_2 = -G \frac{Mm}{r_2} + \frac{1}{2} m v^2$

ここで、

$r_2 = 6.7 \times 10^9 m$ (惑星からの距離)

$v$ (小物体の速さ)

エネルギー保存則より、$E_1 = E_2$ なので、

$-G \frac{Mm}{r_1} = -G \frac{Mm}{r_2} + \frac{1}{2} m v^2$

$m$ で割って整理すると、

$\frac{1}{2} v^2 = G M (\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1})$

$v^2 = 2GM (\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1})$

$v = \sqrt{2GM (\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1})}$

数値を代入して計算します。

$v = \sqrt{2 \times 6.7 \times 10^{-11} \times 4.0 \times 10^{24} (\frac{1}{6.7 \times 10^9} - \frac{1}{1.3 \times 10^{10}})}$

$v = \sqrt{2 \times 6.7 \times 4.0 \times 10^{13} (\frac{1}{6.7 \times 10^9} - \frac{1}{1.3 \times 10^{10}})}$

$v = \sqrt{53.6 \times 10^{13} (\frac{1.3 - 0.67}{6.7 \times 1.3 \times 10^{19}})}$

$v = \sqrt{53.6 \times 10^{13} (\frac{0.63}{8.71 \times 10^{19}})}$

$v = \sqrt{\frac{53.6 \times 0.63 \times 10^{13}}{8.71 \times 10^{19}}}$

$v = \sqrt{\frac{33.768 \times 10^{13}}{8.71 \times 10^{19}}}$

$v = \sqrt{3.8769 \times 10^{-6} \times 10^{13}}$

$v = \sqrt{3.8769 \times 10^{7}}$

$v \approx \sqrt{38769000}$

$v \approx 6226.47 \ m/s$

3. 最終的な答え

6226 m/s