縦6m、横3mの長方形の鉄板から、図の斜線部分を切り取り、点線に沿って折り曲げて蓋のある直方体の箱を作る。箱の容積を最大にするためには、$x$ をいくつにすればよいか。

1. 問題の内容

縦6m、横3mの長方形の鉄板から、図の斜線部分を切り取り、点線に沿って折り曲げて蓋のある直方体の箱を作る。箱の容積を最大にするためには、$x$ をいくつにすればよいか。

2. 解き方の手順

箱の容積 $V$ を $x$ の関数として表し、その最大値を求める。

まず、箱の高さは $x$ mである。

箱の横の長さは $3-2x$ mとなる。ただし、$x>0$ かつ $3-2x>0$ より、$0 < x < \frac{3}{2}$である。

箱の縦の長さは $6-2x$ mとなる。ただし、$x>0$ かつ $6-2x>0$ より、$0 < x < 3$である。

よって、$0 < x < \frac{3}{2}$が成立する。

したがって、箱の容積 $V$ は、

$V = x(3-2x)(6-2x)$

$V = x(18 - 12x - 6x + 4x^2)$

$V = x(18 - 18x + 4x^2)$

$V = 4x^3 - 18x^2 + 18x$

$V$ を $x$ で微分して、$V'$ を求める。

$V' = 12x^2 - 36x + 18$

$V' = 6(2x^2 - 6x + 3)$

$V' = 0$ となる $x$ を求める。

$2x^2 - 6x + 3 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \approx 2.366$

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \approx 0.634$

$0 < x < \frac{3}{2}$であるから、$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ が適切である。

$V'' = 24x - 36$

$V''(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}) = 24(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}) - 36 = 12(3 - \sqrt{3}) - 36 = 36 - 12\sqrt{3} - 36 = -12\sqrt{3} < 0$

よって、$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ で $V$ は極大値をとる。

3. 最終的な答え

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$