容積が $2000 m^3$ である蓋つきの直円柱の形をした水槽を、最も少ない材料で作るには、円柱の半径 $x$ を何 $m$ にすれば良いか？

1. 問題の内容

容積が $2000 m^3$ である蓋つきの直円柱の形をした水槽を、最も少ない材料で作るには、円柱の半径 $x$ を何 $m$ にすれば良いか？

2. 解き方の手順

直円柱の体積 $V$ は $V = \pi x^2 h$ であり、$V=2000$ なので、$h = \frac{2000}{\pi x^2}$ となる。

直円柱の表面積 $S$ は $S = 2\pi x^2 + 2\pi x h$ であり、これを最小化したい。

$h$ を代入すると、$S = 2\pi x^2 + 2\pi x \frac{2000}{\pi x^2} = 2\pi x^2 + \frac{4000}{x}$ となる。

$S$ を $x$ で微分すると、$S' = 4\pi x - \frac{4000}{x^2}$ となる。

$S'$ が $0$ になる $x$ を求める。$4\pi x - \frac{4000}{x^2} = 0$ より、$4\pi x = \frac{4000}{x^2}$。

よって、$x^3 = \frac{1000}{\pi}$ となり、$x = \sqrt[3]{\frac{1000}{\pi}} = \frac{10}{\sqrt[3]{\pi}}$ となる。

3. 最終的な答え

$x = \frac{10}{\sqrt[3]{\pi}}$