質量 $m$ の物体が、速度 $V$ で傾斜角を持つ斜面を登り、静止しました。斜面と物体の間の動摩擦係数は $\frac{1}{4}$ です。物体が静止するまでに斜面上を $x$ 滑ったとして、摩擦で失われた力学的エネルギーを求めてください。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が、速度 $V$ で傾斜角を持つ斜面を登り、静止しました。斜面と物体の間の動摩擦係数は $\frac{1}{4}$ です。物体が静止するまでに斜面上を $x$ 滑ったとして、摩擦で失われた力学的エネルギーを求めてください。

2. 解き方の手順

まず、斜面を登る際に物体に働く力を考えます。重力 $mg$ は鉛直下向きに働き、斜面に沿った方向の成分は $mg \sin{\theta}$ です。ここで、$\theta$ は斜面の角度です。斜面の比率から、$\sin{\theta} = \frac{3}{5}$ であることがわかります。

次に、摩擦力 $f$ を考えます。摩擦力は、$f = \mu N$ で与えられます。ここで、$\mu$ は動摩擦係数 ($\frac{1}{4}$)、$N$ は垂直抗力です。垂直抗力は、重力の斜面に垂直な成分と釣り合っているので、$N = mg \cos{\theta}$ です。斜面の比率から、$\cos{\theta} = \frac{4}{5}$ であることがわかります。したがって、$N = \frac{4}{5}mg$ であり、$f = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} mg = \frac{1}{5}mg$ となります。

摩擦によって失われた力学的エネルギーは、摩擦力 $f$ が距離 $x$ にわたって行った仕事に等しくなります。したがって、失われたエネルギーは $f \cdot x = \frac{1}{5}mgx$ です。問題文より、$x$ 滑ったと書いてあるため、エネルギー保存則から求めます。

物体の初めの運動エネルギーは $\frac{1}{2}mV^2$ であり、位置エネルギーと摩擦による損失に変換されます。位置エネルギーは $mgh$ であり、$h=x\sin\theta = \frac{3}{5}x$ なので、$\frac{3}{5}mgx$となります。よってエネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}mV^2 = mgh + fx = \frac{3}{5}mgx + \frac{1}{5}mgx = \frac{4}{5}mgx$

したがって、$x = \frac{5V^2}{8g}$ となります。

摩擦によって失われた力学的エネルギーは $f \cdot x = \frac{1}{5}mgx = \frac{1}{5}mg \cdot \frac{5V^2}{8g} = \frac{1}{8}mV^2$ となります。

3. 最終的な答え

摩擦で失われた力学的エネルギーは $\frac{1}{8}mV^2$ です。