質量 $m$ の質点が、速度に比例する抵抗力 (比例定数 $b > 0$) を受けながら、バネ定数 $k$ ($k > 0$) のバネにつながれて直線上を振動している。平衡位置を原点にしたときの質点の位置を $x$ で表すとき、以下の問いに答えよ。 (1) 質点の運動方程式を求めよ。 (2) (1) において、$2\gamma = \frac{b}{m}$、$\omega_0^2 = \frac{k}{m}$ とおき、特性方程式の方法で一般解を求めよ。ただし、(i) $\gamma^2 - \omega_0^2 > 0$、(ii) $\gamma^2 - \omega_0^2 = 0$、(iii) $\gamma^2 - \omega_0^2 < 0$ の場合に分けて一般解を求めよ。 (3) 初期条件 ($t = 0$ での $x, v$ の値) を $x(0) = 1$、$\dot{x}(0) = 0$ とするとき、(i)-(iii) のそれぞれについて横軸を $t$ 軸、縦軸を $x$ として解のグラフの形を描け。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が、速度に比例する抵抗力 (比例定数 $b > 0$) を受けながら、バネ定数 $k$ ($k > 0$) のバネにつながれて直線上を振動している。平衡位置を原点にしたときの質点の位置を $x$ で表すとき、以下の問いに答えよ。

(1) 質点の運動方程式を求めよ。

(2) (1) において、$2\gamma = \frac{b}{m}$、$\omega_0^2 = \frac{k}{m}$ とおき、特性方程式の方法で一般解を求めよ。ただし、(i) $\gamma^2 - \omega_0^2 > 0$、(ii) $\gamma^2 - \omega_0^2 = 0$、(iii) $\gamma^2 - \omega_0^2 < 0$ の場合に分けて一般解を求めよ。

(3) 初期条件 ($t = 0$ での $x, v$ の値) を $x(0) = 1$、$\dot{x}(0) = 0$ とするとき、(i)-(iii) のそれぞれについて横軸を $t$ 軸、縦軸を $x$ として解のグラフの形を描け。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式の導出

質点に働く力は、バネによる力 $-kx$ と、速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$ である。ニュートンの運動方程式より、

$m\ddot{x} = -kx - b\dot{x}$

移項して整理すると、運動方程式は

$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0$

(2) 一般解の導出

(1) で求めた運動方程式を、$m$ で割ると、

$\ddot{x} + \frac{b}{m}\dot{x} + \frac{k}{m}x = 0$

問題文の指示より、$2\gamma = \frac{b}{m}$、$\omega_0^2 = \frac{k}{m}$ を代入すると、

$\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$

この微分方程式を解くために、特性方程式を用いる。$x = e^{\lambda t}$ と仮定すると、

$\lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega_0^2 = 0$

この2次方程式の解は、

$\lambda = \frac{-2\gamma \pm \sqrt{(2\gamma)^2 - 4\omega_0^2}}{2} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$

判別式 $\gamma^2 - \omega_0^2$ の符号によって場合分けする。

(i) $\gamma^2 - \omega_0^2 > 0$ (過減衰) の場合

$\lambda_1 = -\gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$、$\lambda_2 = -\gamma - \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$ は実数で異なる。

したがって、一般解は

$x(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} = C_1 e^{(-\gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2})t} + C_2 e^{(-\gamma - \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2})t}$

(ii) $\gamma^2 - \omega_0^2 = 0$ (臨界減衰) の場合

$\lambda = -\gamma$ (重解)

したがって、一般解は

$x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-\gamma t}$

(iii) $\gamma^2 - \omega_0^2 < 0$ (減衰振動) の場合

$\lambda = -\gamma \pm i\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ は複素数となる。$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ とおくと、

$\lambda = -\gamma \pm i\omega$

したがって、一般解は

$x(t) = e^{-\gamma t}(C_1 \cos{\omega t} + C_2 \sin{\omega t})$

(3) 初期条件とグラフの概形

初期条件 $x(0) = 1$, $\dot{x}(0) = 0$ を用いて、(i)-(iii) それぞれの場合について解を決定する。

(i) $\gamma^2 - \omega_0^2 > 0$ (過減衰) の場合

$x(0) = C_1 + C_2 = 1$

$\dot{x}(0) = C_1\lambda_1 + C_2\lambda_2 = 0$

この連立方程式を解くと、

$C_1 = \frac{\gamma + \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}$,

$C_2 = \frac{-\gamma + \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}$

よって$x(t) = \frac{\gamma + \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} e^{(-\gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2})t} + \frac{-\gamma + \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} e^{(-\gamma - \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2})t}$

グラフは、時間経過とともに $x=0$ に滑らかに減衰する。振動はない。

(ii) $\gamma^2 - \omega_0^2 = 0$ (臨界減衰) の場合

$x(0) = C_1 = 1$

$\dot{x}(0) = -\gamma C_1 + C_2 = 0$

$C_2 = \gamma$

$x(t) = (1 + \gamma t)e^{-\gamma t}$

グラフは、時間経過とともに $x=0$ に滑らかに減衰する。振動はない。減衰の速さが(i)の場合よりも速い。

(iii) $\gamma^2 - \omega_0^2 < 0$ (減衰振動) の場合

$x(0) = C_1 = 1$

$\dot{x}(0) = -\gamma C_1 + \omega C_2 = 0$

$C_2 = \frac{\gamma}{\omega}$

$x(t) = e^{-\gamma t}(\cos{\omega t} + \frac{\gamma}{\omega}\sin{\omega t})$

グラフは、振幅が徐々に小さくなる振動をする。

3. 最終的な答え

(1) $m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0$

(2)

(i) $\gamma^2 - \omega_0^2 > 0$: $x(t) = C_1 e^{(-\gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2})t} + C_2 e^{(-\gamma - \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2})t}$

(ii) $\gamma^2 - \omega_0^2 = 0$: $x(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-\gamma t}$

(iii) $\gamma^2 - \omega_0^2 < 0$: $x(t) = e^{-\gamma t}(C_1 \cos{\omega t} + C_2 \sin{\omega t})$

(3)

(i)過減衰：$x(t) = \frac{\gamma + \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} e^{(-\gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2})t} + \frac{-\gamma + \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}{2\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} e^{(-\gamma - \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2})t}$

(ii)臨界減衰：$x(t) = (1 + \gamma t)e^{-\gamma t}$

(iii)減衰振動：$x(t) = e^{-\gamma t}(\cos{\omega t} + \frac{\gamma}{\omega}\sin{\omega t})$

グラフの概形は上記の説明を参照。