直径10cmの鉄球から直円柱を削り出す。直円柱の体積が最大となるようにするには、直円柱の高さを何cmにすれば良いか求める問題です。ヒントとして、円柱の高さを$2x$とすることが与えられています。

1. 問題の内容

直径10cmの鉄球から直円柱を削り出す。直円柱の体積が最大となるようにするには、直円柱の高さを何cmにすれば良いか求める問題です。ヒントとして、円柱の高さを$2x$とすることが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、直円柱の体積を$x$で表します。

鉄球の半径は$5$cmです。

直円柱の高さを$2x$とすると、直円柱の底面の半径$r$は三平方の定理より、

$r^2 + x^2 = 5^2$

$r^2 = 25 - x^2$

となります。

直円柱の体積$V$は、

$V = \pi r^2 (2x) = 2\pi x (25 - x^2) = 2\pi (25x - x^3)$

です。

体積$V$が最大となる$x$を求めるために、$V$を$x$で微分します。

$\frac{dV}{dx} = 2\pi (25 - 3x^2)$

$\frac{dV}{dx} = 0$ となる$x$を求めます。

$25 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 25$

$x^2 = \frac{25}{3}$

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$

$x > 0$より、$x = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$です。

直円柱の高さは$2x$なので、

$2x = 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$cmとなります。

3. 最終的な答え

直円柱の高さを$\frac{10\sqrt{3}}{3}$cmにすれば、直円柱の体積は最大になります。