アルゴンの二原子分子のようなファンデルワールス分子の分子振動の周期$T$が与えられている。 $T = \frac{\pi \sigma}{\sqrt[3]{C} \sqrt{\epsilon}}$ ここで、$C$は整数である。$C$の値を求める。ただし、質量は単位質量であるとする。

1. 問題の内容

アルゴンの二原子分子のようなファンデルワールス分子の分子振動の周期$T$が与えられている。

$T = \frac{\pi \sigma}{\sqrt[3]{C} \sqrt{\epsilon}}$

ここで、$C$は整数である。$C$の値を求める。ただし、質量は単位質量であるとする。

2. 解き方の手順

ファンデルワールス分子の二原子分子の分子振動は調和振動子で近似できる。

調和振動子の周期$T$は、$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$で与えられる。ここで、$m$は質量、$k$はばね定数である。

問題文より、質量は単位質量なので、$m=1$となる。

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{k}} = \frac{2 \pi}{\sqrt{k}}$

ファンデルワールスポテンシャルは、通常、次の形で表される（レナード-ジョーンズ・ポテンシャル）：

$V(r) = 4 \epsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{6} \right]$

ここで、$\epsilon$はポテンシャルの深さ、$\sigma$は分子間の距離を表す。

平衡点$r_0$で、$V'(r_0) = 0$となる。

$V'(r) = 4 \epsilon \left[ -12 \frac{\sigma^{12}}{r^{13}} + 6 \frac{\sigma^{6}}{r^{7}} \right]$

$V'(r_0) = 0$より、

$-12 \frac{\sigma^{12}}{r_0^{13}} + 6 \frac{\sigma^{6}}{r_0^{7}} = 0$

$12 \frac{\sigma^{12}}{r_0^{13}} = 6 \frac{\sigma^{6}}{r_0^{7}}$

$2 \sigma^{6} = r_0^{6}$

$r_0 = \sqrt[6]{2} \sigma$

ばね定数$k$は、$V''(r_0)$で与えられる。

$V''(r) = 4 \epsilon \left[ 156 \frac{\sigma^{12}}{r^{14}} - 42 \frac{\sigma^{6}}{r^{8}} \right]$

$V''(r_0) = 4 \epsilon \left[ 156 \frac{\sigma^{12}}{(\sqrt[6]{2} \sigma)^{14}} - 42 \frac{\sigma^{6}}{(\sqrt[6]{2} \sigma)^{8}} \right]$

$= 4 \epsilon \left[ 156 \frac{\sigma^{12}}{2^{7/3} \sigma^{14}} - 42 \frac{\sigma^{6}}{2^{4/3} \sigma^{8}} \right]$

$= 4 \epsilon \left[ \frac{156}{2^{7/3} \sigma^{2}} - \frac{42}{2^{4/3} \sigma^{2}} \right]$

$= \frac{4 \epsilon}{\sigma^{2}} \left[ \frac{156}{2^{7/3}} - \frac{42}{2^{4/3}} \right]$

$= \frac{4 \epsilon}{\sigma^{2}} \left[ \frac{156 - 42 \times 2}{2^{7/3}} \right] = \frac{4 \epsilon}{\sigma^{2}} \left[ \frac{156 - 84}{2^{7/3}} \right] = \frac{4 \epsilon}{\sigma^{2}} \frac{72}{2^{7/3}} = \frac{288 \epsilon}{2^{7/3} \sigma^{2}}$

$k = V''(r_0) = \frac{288 \epsilon}{2^{7/3} \sigma^{2}}$

$T = \frac{2 \pi}{\sqrt{k}} = \frac{2 \pi \sigma}{\sqrt{\frac{288 \epsilon}{2^{7/3}}}} = \frac{2 \pi \sigma}{\sqrt{288/2^{7/3}} \sqrt{\epsilon}} = \frac{2 \pi \sigma}{\sqrt{288/2^{7/3}} \sqrt{\epsilon}}$

与えられた式と比較する。

$\frac{\pi \sigma}{\sqrt[3]{C} \sqrt{\epsilon}} = \frac{2 \pi \sigma}{\sqrt{288/2^{7/3}} \sqrt{\epsilon}}$

$\sqrt[3]{C} = \frac{\sqrt{288/2^{7/3}}}{2} = \sqrt{\frac{288}{4 \times 2^{7/3}}} = \sqrt{\frac{72}{2^{7/3}}} = \sqrt{\frac{72}{2^{2} \times 2^{1/3}}} = \sqrt{\frac{18}{2^{1/3}}} = \sqrt{\frac{18}{\sqrt[3]{2}}}$

$C = \left( \frac{18}{\sqrt[3]{2}} \right)^{3/2} \approx (14.28)^{3/2} \approx 54$

$T = \frac{\pi \sigma}{\sqrt[3]{54} \sqrt{\epsilon}}$

3. 最終的な答え

54