質量 0.40 kg のサッカーボールが正の向きに速さ 10 m/s で飛んできた。これをヘディングしたところ、ボールは正の向きに対して 120° の角度をなす向きに同じ速さ 10 m/s で跳ね返った。このとき、ボールが受けた力積の大きさと、力積の向きが正の向きとなす角度を求める問題です。

1. 問題の内容

質量 0.40 kg のサッカーボールが正の向きに速さ 10 m/s で飛んできた。これをヘディングしたところ、ボールは正の向きに対して 120° の角度をなす向きに同じ速さ 10 m/s で跳ね返った。このとき、ボールが受けた力積の大きさと、力積の向きが正の向きとなす角度を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、運動量変化を求めます。運動量変化は、力積に等しいです。

運動量は、質量と速度の積で表されます。

初期の運動量 $\vec{p_1}$ は、

$\vec{p_1} = m \vec{v_1}$

であり、m=0.40 kg, $\vec{v_1}$ は正の向きに 10 m/s です。

後の運動量 $\vec{p_2}$ は、

$\vec{p_2} = m \vec{v_2}$

であり、m=0.40 kg, $\vec{v_2}$ は正の向きから 120° の方向に 10 m/s です。

運動量変化（力積）$\vec{I}$ は、

$\vec{I} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$

これを成分で計算するために、$\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ を成分に分解します。

$\vec{v_1} = (10, 0)$

$\vec{v_2} = (10 \cos{120^\circ}, 10 \sin{120^\circ}) = (10 \times -1/2, 10 \times \sqrt{3}/2) = (-5, 5\sqrt{3})$

したがって、

$\vec{p_1} = (0.4 \times 10, 0) = (4, 0)$

$\vec{p_2} = (0.4 \times -5, 0.4 \times 5\sqrt{3}) = (-2, 2\sqrt{3})$

力積 $\vec{I}$ は、

$\vec{I} = \vec{p_2} - \vec{p_1} = (-2 - 4, 2\sqrt{3} - 0) = (-6, 2\sqrt{3})$

力積の大きさ $I$ は、

$I = \sqrt{(-6)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ kg m/s}$

力積の向きが正の向きとなす角度 $\theta$ は、

$\tan{\theta} = \frac{2\sqrt{3}}{-6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\theta = \arctan{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$

$\theta = 150^\circ$

3. 最終的な答え

力積の大きさ: $4\sqrt{3}$ kg m/s (約6.93 kg m/s)

力積の向きが正の向きとなす角度: 150°