ある商品を1個200円で仕入れ、通常250円で売ると1日に600個売れる。売り値を1円下げると売上個数が15個増え、1円上げると15個減る。仕入れた商品はその日のうちに完売させるとして、1日の利益を最大にする仕入れ個数と1個あたりの売り値を求める。

1. 問題の内容

ある商品を1個200円で仕入れ、通常250円で売ると1日に600個売れる。売り値を1円下げると売上個数が15個増え、1円上げると15個減る。仕入れた商品はその日のうちに完売させるとして、1日の利益を最大にする仕入れ個数と1個あたりの売り値を求める。

2. 解き方の手順

まず、売り値を $x$ 円としたときの売上個数 $y$ を求める。通常価格からの変動を考える。$x = 250 - n$ (nは値下げ幅) とすると、$y = 600 + 15n$ となる。同様に $x = 250 + n$ (nは値上げ幅) とすると $y = 600 - 15n$ となる。一般化して、$x = 250 + a$ とすると、$y = 600 - 15a$ ($a$ は売り値の変動幅) と表せる。

利益は (売り値 - 仕入れ値) * 売上個数 で求められるので、

利益 $P$ は以下のようになる。

$P = (x - 200)y = (250 + a - 200)(600 - 15a) = (50 + a)(600 - 15a)$

$P = 30000 - 750a + 600a - 15a^2 = -15a^2 - 150a + 30000$

利益 $P$ を最大にする $a$ を求めるため、 $P$ を $a$ で微分して0となる点を求める。

$\frac{dP}{da} = -30a - 150$

$-30a - 150 = 0$

$30a = -150$

$a = -5$

よって、売り値は $x = 250 + a = 250 - 5 = 245$ 円。

このときの売上個数は $y = 600 - 15a = 600 - 15(-5) = 600 + 75 = 675$ 個。

仕入れ個数も売上個数と同じなので 675個となる。

3. 最終的な答え

仕入れ個数：675個

1個あたりの売り値：245円