長さ1m、一辺が $a$ の正方形断面を持つ角材を水に浮かべた時、安定であるための $a$ の値を求めます。ただし、木材の密度は $620 kg/m^3$ とします。

1. 問題の内容

長さ1m、一辺が $a$ の正方形断面を持つ角材を水に浮かべた時、安定であるための $a$ の値を求めます。ただし、木材の密度は $620 kg/m^3$ とします。

2. 解き方の手順

まず、角材の質量 $m$ を計算します。角材の体積 $V$ は $a^2 \times 1 = a^2 m^3$ です。密度 $\rho = 620 kg/m^3$ なので、質量は $m = \rho V = 620a^2$ kgです。

次に、角材が浮く条件を考えます。角材が浮くためには、重力と浮力が釣り合う必要があります。浮力は、アルキメデスの原理より、角材が水中に沈んでいる部分の体積に相当する水の重さです。

水の密度を $\rho_w = 1000 kg/m^3$ とします。角材の長さが1mなので、水中に沈んでいる部分の長さを $d$ とすると、水中に沈んでいる部分の体積は $a^2 d$ m$^3$となります。したがって、浮力は $\rho_w a^2 d g = 1000 a^2 d g$ N（$g$ は重力加速度）となります。

重力は $mg = 620 a^2 g$ Nです。

釣り合いの条件より、 $620 a^2 g = 1000 a^2 d g$、つまり $d = 0.62$ m となります。

安定条件を考えます。安定であるためには、メタセンター高さ $GM$ が正である必要があります。$GM = BM - BG$で与えられます。ここで、$BG$ は重心位置、$BM$ はメタセンター半径です。

重心 $G$ は角材の中央にあるので、水面からの距離は $1/2 = 0.5$ m です。

浮心の位置は、水面から $d/2 = 0.62/2 = 0.31$ m の位置です。

したがって、$BG = 0.5 - 0.31 = 0.19$ mです。

メタセンター半径 $BM = I/V_s$で与えられます。ここで、$I$ は水線断面の慣性モーメント、$V_s$ は水中に沈んでいる体積です。

水線断面は一辺 $a$ の正方形なので、$I = \frac{a^4}{12}$となります。

水中に沈んでいる体積 $V_s = a^2 d = 0.62 a^2$です。

したがって、$BM = \frac{a^4/12}{0.62 a^2} = \frac{a^2}{12 \times 0.62} = \frac{a^2}{7.44}$です。

$GM = BM - BG = \frac{a^2}{7.44} - 0.19 > 0$

$a^2 > 0.19 \times 7.44 = 1.4136$

$a > \sqrt{1.4136} \approx 1.189$ m

3. 最終的な答え

$a > 1.189$ m