$x$-$y$平面において、質点の位置$(x, y)$にあるときの力$\vec{f} = (ay^3x^2, bx^3y^2)$が与えられている。ここで、$a, b$は定数である。この力が非保存力であるための必要十分条件を求める。

1. 問題の内容

$x$-$y$平面において、質点の位置$(x, y)$にあるときの力$\vec{f} = (ay^3x^2, bx^3y^2)$が与えられている。ここで、$a, b$は定数である。この力が非保存力であるための必要十分条件を求める。

2. 解き方の手順

力$\vec{f} = (P(x, y), Q(x, y))$が保存力であるための必要十分条件は、

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$

が成り立つことである。したがって、非保存力であるための必要十分条件は、

$\frac{\partial P}{\partial y} \ne \frac{\partial Q}{\partial x}$

が成り立つことである。

この問題では、$P(x, y) = ay^3x^2$、$Q(x, y) = bx^3y^2$であるから、偏微分を計算すると、

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (ay^3x^2) = 3ay^2x^2$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (bx^3y^2) = 3bx^2y^2$

したがって、

$\frac{\partial P}{\partial y} \ne \frac{\partial Q}{\partial x}$

は

$3ay^2x^2 \ne 3bx^2y^2$

となる。これは、$a \ne b$が必要十分条件となる。なぜなら、$a = b$のときは$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$となり保存力になるため、$a \ne b$であれば非保存力となる。

3. 最終的な答え

$a \ne b$