質量 $M$ と $m$ の2つの質点間の万有引力について、以下の問いに答える。 (a) 万有引力が保存力であることを示せ。 (b) 万有引力ポテンシャルを求め、$r$ 依存性を示せ。 (c) 地球上の物体の自由落下が万有引力によるとして、地球の質量を見積もり、実際の値と比較せよ。

1. 問題の内容

質量 $M$ と $m$ の2つの質点間の万有引力について、以下の問いに答える。

(a) 万有引力が保存力であることを示せ。

(b) 万有引力ポテンシャルを求め、$r$ 依存性を示せ。

(c) 地球上の物体の自由落下が万有引力によるとして、地球の質量を見積もり、実際の値と比較せよ。

2. 解き方の手順

(a) 保存力の定義：力 $\vec{F}$ が保存力であるとは、任意の閉曲線 $C$ に沿った仕事がゼロになること、すなわち $\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0$ となることである。または、力 $\vec{F}$ があるスカラー関数 $U$ の勾配の負の形で表されること、すなわち $\vec{F} = -\nabla U$ となることである。

万有引力 $\vec{F} = -\frac{GMm}{r^2}\hat{r}$ は中心力であり、中心力は保存力である。なぜなら、万有引力は位置エネルギー $U(r)$ の勾配の負の形で表されるからである。

$U(r) = - \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$

$U(r) = -\int -\frac{GMm}{r^2} dr = - \frac{GMm}{r}$

(b) 万有引力ポテンシャルは $U(r) = -\frac{GMm}{r}$ である。$r$ 依存性は $U(r) \propto \frac{1}{r}$ となる。

(c) 地球の質量を $M_E$、物体の質量を $m$ とすると、物体に働く重力は $F = mg$ と表される。一方、万有引力は $F = \frac{GM_E m}{R^2}$ と表される。ここで $R$ は地球の半径である。これらが等しいとすると、

$mg = \frac{GM_E m}{R^2}$

$M_E = \frac{gR^2}{G}$

与えられた値 $g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2$, $R \approx 6.4 \times 10^6 \, \text{m}$, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2$ を代入すると、

$M_E = \frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 6.0 \times 10^{24} \, \text{kg}$

これは実際の値 $5.97 \times 10^{24}$ kg とほぼ一致する。

3. 最終的な答え

(a) 万有引力は保存力である。

(b) 万有引力ポテンシャル：$U(r) = -\frac{GMm}{r}$ 、$r$ 依存性：$U(r) \propto \frac{1}{r}$

(c) 地球の質量の概算：$M_E \approx 6.0 \times 10^{24} \, \text{kg}$ 、実際の値とほぼ一致する。