質量 $m$ の物体が速度 $v$ で静止している質量 $M$ の物体に衝突し、一体となって運動する。このとき減少した力学的エネルギーを求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が速度 $v$ で静止している質量 $M$ の物体に衝突し、一体となって運動する。このとき減少した力学的エネルギーを求める。

2. 解き方の手順

(1) 衝突前後の運動量保存則を考える。衝突後の速度を $V$ とすると、

$mv = (m+M)V$

となる。これから、$V$ は、

$V = \frac{m}{m+M}v$

と求められる。

(2) 衝突前の力学的エネルギーは、

$E_{before} = \frac{1}{2}mv^2$

である。

(3) 衝突後の力学的エネルギーは、

$E_{after} = \frac{1}{2}(m+M)V^2 = \frac{1}{2}(m+M)(\frac{m}{m+M}v)^2 = \frac{1}{2}\frac{m^2}{m+M}v^2$

である。

(4) 減少した力学的エネルギーは、

$\Delta E = E_{before} - E_{after} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}\frac{m^2}{m+M}v^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 - \frac{m}{m+M}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{m+M-m}{m+M}) = \frac{1}{2}mv^2\frac{M}{m+M} = \frac{1}{2}\frac{mM}{m+M}v^2$

となる。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}\frac{mM}{m+M}v^2$

選択肢2が正しい。