長さ $L$、質量 $M$ の棒が床に固定されている。固定端は回転するが位置は動かない。垂直の状態から棒を放したとき、棒が 90° 傾いて地面に衝突する直前の角速度 $\omega$ を求める。

1. 問題の内容

長さ $L$、質量 $M$ の棒が床に固定されている。固定端は回転するが位置は動かない。垂直の状態から棒を放したとき、棒が 90° 傾いて地面に衝突する直前の角速度 $\omega$ を求める。

2. 解き方の手順

エネルギー保存の法則を用いる。

初期状態では、棒は垂直に立っており、運動エネルギーは0である。位置エネルギーは、棒の重心の高さで決まる。重心の高さは $L/2$ であるから、位置エネルギーは $Mg(L/2)$ である。

棒が 90° 傾いた状態では、棒は地面に衝突する直前であり、位置エネルギーは0となる。運動エネルギーは回転運動エネルギー $I\omega^2/2$ になる。

棒の回転軸周りの慣性モーメント $I$ は $ML^2/3$ である。

したがって、エネルギー保存の法則から、

$Mg\frac{L}{2} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{3}ML^2)\omega^2$

$Mg\frac{L}{2} = \frac{1}{6}ML^2\omega^2$

$\omega^2 = \frac{3g}{L}$

$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$

3. 最終的な答え

$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$

したがって、答えは B である。