質量 $M$、半径 $R$ の円柱が速度 $v$ で滑らずに転がりながら、傾斜角 $\theta$ の斜面を滑らずに登るとき、斜面に沿ってどれだけの距離 $x$ まで登るかを求める問題です。ただし、平面から斜面に移る際に運動エネルギーは変化しないものとします。

1. 問題の内容

質量 $M$、半径 $R$ の円柱が速度 $v$ で滑らずに転がりながら、傾斜角 $\theta$ の斜面を滑らずに登るとき、斜面に沿ってどれだけの距離 $x$ まで登るかを求める問題です。ただし、平面から斜面に移る際に運動エネルギーは変化しないものとします。

2. 解き方の手順

円柱が滑らずに転がる場合、運動エネルギーは並進運動エネルギーと回転運動エネルギーの和で表されます。円柱の慣性モーメント $I$ は $\frac{1}{2}MR^2$ であり、回転の角速度 $\omega$ は $\frac{v}{R}$ となります。

したがって、円柱の運動エネルギー $K$ は、

$K = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2 = \frac{3}{4}Mv^2$

斜面を登る際に、運動エネルギーは位置エネルギーに変換されます。円柱が斜面に沿って距離 $x$ だけ登ったとき、高さは $x \sin \theta$ となります。したがって、位置エネルギー $U$ は、

$U = Mgx\sin \theta$

エネルギー保存則より、$K=U$なので、

$\frac{3}{4}Mv^2 = Mgx\sin \theta$

$M$ で割って、$x$ について解くと、

$x = \frac{3v^2}{4g\sin \theta}$

3. 最終的な答え

斜面に沿って登る距離 $x$ は $\frac{3v^2}{4g\sin \theta}$ である。選択肢Cが正しい。