碁盤の目状のマス目に、1から反時計回りに自然数を順に並べていく。1の左の2番目は2、3番目は11、4番目は28、5番目は53となる。このとき、20番目の数値を求める。選択肢は以下の通り。 1. 1,234

1. 問題の内容

碁盤の目状のマス目に、1から反時計回りに自然数を順に並べていく。1の左の2番目は2、3番目は11、4番目は28、5番目は53となる。このとき、20番目の数値を求める。選択肢は以下の通り。

1. 1,234

2. 1,344

3. 1,388

4. 1,444

5. 1,488

2. 解き方の手順

まず、問題の数列の増加量に着目する。

1の左隣の2番目は2なので、1から2までの増加量は1である。

3番目は11なので、2から11までの増加量は9である。

4番目は28なので、11から28までの増加量は17である。

5番目は53なので、28から53までの増加量は25である。

増加量の数列は1, 9, 17, 25,... となり、これは等差数列である。

この等差数列の公差は8である。

よって、増加量の数列の一般項は $a_n = 1 + (n-1)8 = 8n - 7$ と表せる。

求める数列は、初項が1で、増加量が $8n - 7$ であるような数列の20番目の項である。

求める数を $x$ とすると、

$x = 1 + \sum_{k=1}^{19} (8k - 7) = 1 + 8\sum_{k=1}^{19} k - 7\sum_{k=1}^{19} 1$

$\sum_{k=1}^{19} k = \frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \times 20}{2} = 190$

$\sum_{k=1}^{19} 1 = 19$

$x = 1 + 8(190) - 7(19) = 1 + 1520 - 133 = 1388$

したがって、20番目の数値は1388である。

3. 最終的な答え

1388