行列 $A$ と $B$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) $AB$ を計算する。 (2) $A$ の転置行列 $^tA$ と $B$ の転置行列 $^tB$ を計算する。 (3) $^tB ^tA$ を計算する。 (4) $(AB)$ の転置行列 $^t(AB)$ と $^tB ^tA$ が等しいことを確認する。 行列 $A$ と $B$ は以下の通りである。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -5 & -6 & -5 \\ 3 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

行列 $A$ と $B$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) $AB$ を計算する。

(2) $A$ の転置行列 $^tA$ と $B$ の転置行列 $^tB$ を計算する。

(3) $^tB ^tA$ を計算する。

(4) $(AB)$ の転置行列 $^t(AB)$ と $^tB ^tA$ が等しいことを確認する。

行列 $A$ と $B$ は以下の通りである。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -5 & -6 & -5 \\ 3 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $AB$ の計算

$AB$ は以下のように計算される。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ -5 & -6 & -5 \\ 3 & 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-10+9 & 2-12+12 & 1-10+12 \\ 8-25+18 & 8-30+24 & 4-25+24 \\ 14-40+27 & 14-48+36 & 7-40+36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $^tA$ と $^tB$ の計算

$A$ の転置行列 $^tA$ は以下のように計算される。

$^tA = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

$B$ の転置行列 $^tB$ は以下のように計算される。

$^tB = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 2 & -6 & 4 \\ 1 & -5 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $^tB ^tA$ の計算

$^tB ^tA$ は以下のように計算される。

$^tB ^tA = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 2 & -6 & 4 \\ 1 & -5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-10+9 & 8-25+18 & 14-40+27 \\ 2-12+12 & 8-30+24 & 14-48+36 \\ 1-10+12 & 4-25+24 & 7-40+36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \\ \end{pmatrix}$

(4) $^t(AB)$ と $^tB ^tA$ の確認

まず、$(AB)$ の転置行列 $^t(AB)$ を計算する。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ なので、

$^t(AB) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

これは $^tB ^tA$ と一致する。したがって、$^t(AB) = ^tB ^tA$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $^tA = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$, $^tB = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 2 & -6 & 4 \\ 1 & -5 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $^tB ^tA = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

(4) $^t(AB) = ^tB ^tA = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$