方眼紙に図のように自然数を順番に記入していく。このとき、30番目の数値を求める。

1. 問題の内容

方眼紙に図のように自然数を順番に記入していく。このとき、30番目の数値を求める。

2. 解き方の手順

まず、図の数の並び方の規則性を見つける。

1行目は1, 2, 5, 10, 17,... となっており、各数字の差は1, 3, 5, 7,...と2ずつ増えていることがわかる。これは階差数列である。

$n$番目の数は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1+1-1+1-1)$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = a_1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = a_1 + 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = a_1 + (n-1)n - (n-1) = a_1 + (n-1)^2$

$a_1 = 1$ なので、$a_n = 1 + (n-1)^2 = n^2 - 2n + 2$ である。

30番目の数字は、$a_{30} = 30^2 - 2*30 + 2 = 900 - 60 + 2 = 842$

3. 最終的な答え

842