問題5: $\sqrt{20-n}$ が整数となる自然数 $n$ の値をすべて求めよ。 問題6: $\sqrt{54n}$ が整数となる自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

問題5: $\sqrt{20-n}$ が整数となる自然数 $n$ の値をすべて求めよ。

問題6: $\sqrt{54n}$ が整数となる自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

問題5:

$\sqrt{20-n}$ が整数となるためには、$20-n$ が0以上の平方数である必要があります。

$20-n$ がとりうる平方数は、0, 1, 4, 9, 16です。

$20-n = 0$ のとき、$n=20$

$20-n = 1$ のとき、$n=19$

$20-n = 4$ のとき、$n=16$

$20-n = 9$ のとき、$n=11$

$20-n = 16$ のとき、$n=4$

したがって、$n$ の値は、4, 11, 16, 19, 20です。

問題6:

$\sqrt{54n}$ が整数となるためには、$54n$ が平方数である必要があります。

$54 = 2 \times 3^3$ なので、

$\sqrt{54n} = \sqrt{2 \times 3^3 \times n}$

$54n$ が平方数になるには、$n$ が $2 \times 3$ を含む必要があります。

したがって、$n=2 \times 3 = 6$ とすると、

$\sqrt{54n} = \sqrt{2 \times 3^3 \times (2 \times 3)} = \sqrt{2^2 \times 3^4} = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$

これは整数なので、$n=6$ が答えです。

3. 最終的な答え

問題5: 4, 11, 16, 19, 20

問題6: 6