数列$\{a_n\}$ が与えられており、以下の条件を満たす。数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。 $a_1 = 1$ $na_{n+1} = 2\sum_{k=1}^{n} a_k$ ($n = 1, 2, 3, ...$)

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$ が与えられており、以下の条件を満たす。数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。

$a_1 = 1$

$na_{n+1} = 2\sum_{k=1}^{n} a_k$ ($n = 1, 2, 3, ...$)

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を利用して $a_n$ を求める。

まず、$n \ge 2$ のとき、以下の式を考える。

$(n-1)a_n = 2\sum_{k=1}^{n-1} a_k$

元の式 $na_{n+1} = 2\sum_{k=1}^{n} a_k$ から上記の式を引くと、以下のようになる。

$na_{n+1} - (n-1)a_n = 2\sum_{k=1}^{n} a_k - 2\sum_{k=1}^{n-1} a_k = 2a_n$

よって、$na_{n+1} = (n-1)a_n + 2a_n = (n+1)a_n$ となる。

したがって、$na_{n+1} = (n+1)a_n$

$a_{n+1} = \frac{n+1}{n}a_n$ ($n \ge 2$)

この漸化式を繰り返し用いると、

$a_n = \frac{n}{n-1}a_{n-1} = \frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n-2}a_{n-2} = \dots = \frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n-2}\dots\frac{3}{2}a_2$

ここで、$a_2$ を求める。与えられた式に $n=1$ を代入すると、

$1 \cdot a_2 = 2\sum_{k=1}^{1} a_k = 2a_1 = 2 \cdot 1 = 2$

よって、$a_2 = 2$

したがって、$a_n = \frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n-2}\dots\frac{3}{2} \cdot 2 = n \quad (n \ge 2)$

$a_1 = 1$ なので、$n=1$ のときも $a_n = n$ を満たす。

3. 最終的な答え

$a_n = n$