2次方程式 $x^2 - 2ax + 3a + 4 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (1) 異なる2つの1以上の解を持つ場合。 (2) 1つの解が2より小さく、もう1つの解が2より大きい場合。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 3a + 4 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(1) 異なる2つの1以上の解を持つ場合。

(2) 1つの解が2より小さく、もう1つの解が2より大きい場合。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの1以上の解を持つ場合

まず、判別式 $D$ を求めます。

$D = (-2a)^2 - 4(3a + 4) = 4a^2 - 12a - 16$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ である必要があります。

$4a^2 - 12a - 16 > 0$

$a^2 - 3a - 4 > 0$

$(a - 4)(a + 1) > 0$

よって、$a < -1$ または $a > 4$

次に、2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とします。解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = 2a$

$\alpha \beta = 3a + 4$

2つの解がともに1以上であるためには、次の条件を満たす必要があります。

(i) $D > 0$ (上記で既に求め済み)

(ii) $(\alpha - 1) + (\beta - 1) > 0$ つまり $\alpha + \beta - 2 > 0$

(iii) $(\alpha - 1)(\beta - 1) > 0$

(ii) より、$2a - 2 > 0$ なので $a > 1$

(iii) より、$\alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 > 0$

$3a + 4 - 2a + 1 > 0$

$a + 5 > 0$

$a > -5$

$a < -1$ または $a > 4$ と、$a > 1$ と $a > -5$ をすべて満たすのは、$a > 4$

したがって、$a > 4$

(2) 1つの解が2より小さく、もう1つの解が2より大きい場合

$f(x) = x^2 - 2ax + 3a + 4$ とします。

このとき、$f(2) < 0$ であれば、1つの解は2より小さく、もう1つの解は2より大きくなります。

$f(2) = 2^2 - 2a(2) + 3a + 4 = 4 - 4a + 3a + 4 = 8 - a$

$8 - a < 0$

$a > 8$

したがって、$a > 8$

3. 最終的な答え

(1) $a > 4$

(2) $a > 8$