関数 $f(x) = x - \frac{1}{x}$ が与えられたとき、$f(f(x))$ を計算してください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x - \frac{1}{x}$ が与えられたとき、$f(f(x))$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を求めます。問題文に、$f(x) = x - \frac{1}{x}$ と与えられています。

次に、$f(f(x))$ を計算します。これは、$f(x)$ の定義における $x$ を $f(x)$ で置き換えることで得られます。

$f(f(x)) = f(x) - \frac{1}{f(x)}$

$f(x)$ を代入すると、

$f(f(x)) = \left(x - \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{\left(x - \frac{1}{x}\right)}$

$f(f(x)) = x - \frac{1}{x} - \frac{1}{\frac{x^2-1}{x}}$

$f(f(x)) = x - \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2-1}$

$f(f(x)) = \frac{x(x^2-1) - (x^2-1) - x^2}{x(x^2-1)}$

$f(f(x)) = \frac{x^3 - x - x^2 + 1 - x^2}{x(x^2-1)}$

$f(f(x)) = \frac{x^3 - 2x^2 - x + 1}{x^3 - x}$

3. 最終的な答え

$f(f(x)) = \frac{x^3 - 2x^2 - x + 1}{x^3 - x}$