関数 $f(x) = x - \frac{1}{x}$ が与えられたとき、$f(f(x))$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x - \frac{1}{x}$ が与えられたとき、$f(f(x))$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(f(x))$ を求めるためには、$f(x)$ の定義式における $x$ を $f(x)$ で置き換える必要があります。つまり、

$$f(f(x)) = f(x) - \frac{1}{f(x)}$$

次に、$f(x) = x - \frac{1}{x}$ を代入します。

$$f(f(x)) = \left(x - \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x - \frac{1}{x}}$$

右辺の第2項の分母を整理します。

$$f(f(x)) = \left(x - \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{\frac{x^2 - 1}{x}}$$

$$f(f(x)) = x - \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 - 1}$$

通分して整理します。

$$f(f(x)) = \frac{x(x^2-1)}{x^2-1} - \frac{x^2-1}{x(x^2-1)} - \frac{x^2}{x(x^2-1)}$$

$$f(f(x)) = \frac{x^2(x^2-1)-(x^2-1)-x^2}{x(x^2-1)}$$

$$f(f(x)) = \frac{x^4 - x^2 - x^2 + 1 - x^2}{x(x^2-1)}$$

$$f(f(x)) = \frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x(x^2-1)}$$

$$f(f(x)) = \frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x^3 - x}$$

3. 最終的な答え

$f(f(x)) = \frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x^3 - x}$