X区役所とY区役所を結ぶ道路があり、Aは徒歩でX区役所からY区役所へ向かい、BはAの出発の10分後に自転車でY区役所を出発してX区役所へ向かった。2人が出会った時点から、Aは25分後にY区役所に到着し、Bは8分後にX区役所へ到着した。2人が出会ったのは、AがX区役所を出発した時点から何分後か？

1. 問題の内容

X区役所とY区役所を結ぶ道路があり、Aは徒歩でX区役所からY区役所へ向かい、BはAの出発の10分後に自転車でY区役所を出発してX区役所へ向かった。2人が出会った時点から、Aは25分後にY区役所に到着し、Bは8分後にX区役所へ到着した。2人が出会ったのは、AがX区役所を出発した時点から何分後か？

2. 解き方の手順

AとBが出会うまでにかかった時間を$t$分とする。Aの速さを$v_A$、Bの速さを$v_B$とする。

Aが出会うまでに進んだ距離は$v_A t$、Bが出会うまでに進んだ距離は$v_B(t-10)$である。

Aが出会ってからY区役所に到着するまでにかかった時間は25分なので、出会った地点からY区役所までの距離は$25v_A$である。

Bが出会ってからX区役所に到着するまでにかかった時間は8分なので、出会った地点からX区役所までの距離は$8v_B$である。

X区役所とY区役所の間の距離は一定なので、以下の式が成り立つ。

$v_A t + 25v_A = v_B(t-10) + 8v_B$

Aが出会うまでに進んだ距離は、Bが出会ってからX区役所に到着するまでの距離に等しいので、

$v_A t = 8v_B$

Bが出会うまでに進んだ距離は、Aが出会ってからY区役所に到着するまでの距離に等しいので、

$v_B(t-10) = 25v_A$

上記の二つの式から、$v_A$と$v_B$を消去する。

$v_B = \frac{v_A t}{8}$

これを$v_B(t-10) = 25v_A$に代入すると、

$\frac{v_A t}{8}(t-10) = 25v_A$

$v_A$で割ると、

$\frac{t(t-10)}{8} = 25$

$t(t-10) = 200$

$t^2 - 10t - 200 = 0$

$(t-20)(t+10) = 0$

$t = 20$または$t = -10$

$t$は正の数なので、$t = 20$

3. 最終的な答え

20分後