整式 $P(x)$ が与えられており、以下の情報が与えられています。 * $P(x)$ を $x+3$ で割ったときの余りは5である。 * $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りは10である。 $P(x)$ を $(x+3)(x-2)$ で割ったときの余りを $ax + b$ と表すとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ が与えられており、以下の情報が与えられています。

* $P(x)$ を $x+3$ で割ったときの余りは5である。

* $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りは10である。

$P(x)$ を $(x+3)(x-2)$ で割ったときの余りを $ax + b$ と表すとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、以下が成り立ちます。

$P(-3) = 5$

$P(2) = 10$

$P(x)$ を $(x+3)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると、

$P(x) = (x+3)(x-2)Q(x) + ax + b$ と表せる。

$x = -3$ を代入すると、

$P(-3) = (-3+3)(-3-2)Q(-3) + a(-3) + b$

$5 = -3a + b$

$x = 2$ を代入すると、

$P(2) = (2+3)(2-2)Q(2) + a(2) + b$

$10 = 2a + b$

連立方程式

$-3a + b = 5$

$2a + b = 10$

を解く。

第2式から第1式を引くと、

$2a + b - (-3a + b) = 10 - 5$

$5a = 5$

$a = 1$

$2a + b = 10$ に $a = 1$ を代入すると、

$2(1) + b = 10$

$b = 10 - 2 = 8$

したがって、$a = 1$ , $b = 8$。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 8$