関数 $y = -(x^2 + 2x)^2 + 2x^2 + 4x + 1$ の $0 \le x \le 1$ における最大値、最小値、およびそれぞれのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -(x^2 + 2x)^2 + 2x^2 + 4x + 1$ の $0 \le x \le 1$ における最大値、最小値、およびそれぞれのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2 + 2x$ とおくと、$y = -t^2 + 2t + 1$ となる。

$t$ の取りうる値の範囲を調べる。$t = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$ である。

$0 \le x \le 1$ において、$x=0$ のとき $t=0$、$x=1$ のとき $t=3$。

また、$t$ は $0 \le x \le 1$ で単調増加であるから、$0 \le t \le 3$ である。

$y = -t^2 + 2t + 1 = -(t^2 - 2t) + 1 = -(t^2 - 2t + 1) + 1 + 1 = -(t-1)^2 + 2$ と変形できる。

よって、$y$ は $t=1$ のとき最大値 $2$ をとる。

$0 \le t \le 3$ なので、$t=3$ のとき最小値 $y = -(3-1)^2 + 2 = -4+2 = -2$ をとる。

$t=1$ のとき、$x^2 + 2x = 1$ より、$x^2 + 2x - 1 = 0$。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$。

$0 \le x \le 1$ であるから、$x = -1 + \sqrt{2}$。

$t=3$ のとき、$x^2 + 2x = 3$ より、$x^2 + 2x - 3 = 0$。

$(x+3)(x-1)=0$ より、$x=-3, 1$。

$0 \le x \le 1$ であるから、$x=1$。

したがって、$x = -1 + \sqrt{2}$ のとき最大値 $2$ をとり、$x=1$ のとき最小値 $-2$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値: 2 ($x = -1 + \sqrt{2}$ のとき)

最小値: -2 ($x = 1$ のとき)