実数 $x, y$ が $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y=1$ を満たすとき、次の式の最大値、最小値、およびそのときの $x, y$ の値を求めよ。 (1) $xy$ (2) $x^2y^2 + x^2 + y^2 + xy$

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y=1$ を満たすとき、次の式の最大値、最小値、およびそのときの $x, y$ の値を求めよ。

(1) $xy$

(2) $x^2y^2 + x^2 + y^2 + xy$

2. 解き方の手順

(1)

$y = 1 - x$ より、$xy = x(1-x) = x - x^2$。

$f(x) = x - x^2$ とおくと、$f(x) = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$。

$0 \le x \le 1$ であるから、$f(x)$ は $x = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{4}$ をとり、$x = 0$ または $x = 1$ のとき最小値 $0$ をとる。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。

$x = 0$ のとき、$y = 1$。

$x = 1$ のとき、$y = 0$。

(2)

$x^2y^2 + x^2 + y^2 + xy = (xy)^2 + (x+y)^2 - 2xy + xy = (xy)^2 - xy + (x+y)^2$

$x+y=1$ より、

$(xy)^2 - xy + 1$。

$t = xy$ とおくと、$g(t) = t^2 - t + 1$。

$g(t) = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$。

(1) より $0 \le xy \le \frac{1}{4}$ であるから、$0 \le t \le \frac{1}{4}$。

$g(t)$ は $t = \frac{1}{4}$ のとき最大値 $(\frac{1}{4} - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = \frac{1}{16} + \frac{3}{4} = \frac{1+12}{16} = \frac{13}{16}$ をとり、$t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{3}{4}$ となるが、$\frac{1}{2}$ は範囲外。$t = 0$ のとき、$g(t) = 1$。$t=1/4$のとき、$g(t) = (1/16) - (1/4) + 1 = (1-4+16)/16 = 13/16$

$t=0$のとき、$g(t) = 1$。従って、最小値は $13/16$。

(1)より、$t=xy=1/4$ のとき、$x=y=1/2$。

このとき、$x^2y^2 + x^2 + y^2 + xy = (1/16) + (1/4) + (1/4) + (1/4) = 13/16$.

$t=xy=0$ のとき、$x=0, y=1$ または $x=1, y=0$。

このとき、$x^2y^2 + x^2 + y^2 + xy = 0 + 0 + 1 + 0 = 1$.

$g(t)$は、$t=0$のとき最大値１、$t=1/4$ のとき最小値 $13/16$をとる。

$xy=0$のとき、$(x,y)=(0,1),(1,0)$

$xy=1/4$のとき、$(x,y)=(1/2,1/2)$。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: $\frac{1}{4}$ ( $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2}$ のとき)

最小値: $0$ ( $x = 0$, $y = 1$ または $x = 1$, $y = 0$ のとき)

(2)

最大値: $1$ ( $x = 0$, $y = 1$ または $x = 1$, $y = 0$ のとき)

最小値: $\frac{13}{16}$ ( $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2}$ のとき)