すべての実数 $x$ について、不等式 $(2k+3)x^2 - 2(k+1)x + k+1 \leq 0$ が成り立たないような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ について、不等式 $(2k+3)x^2 - 2(k+1)x + k+1 \leq 0$ が成り立たないような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $(2k+3)x^2 - 2(k+1)x + k+1 \leq 0$ がすべての実数 $x$ について成り立たない条件を考える。これは、すべての実数 $x$ に対して $(2k+3)x^2 - 2(k+1)x + k+1 > 0$ が成り立つことと同値である。

(1) $2k+3 = 0$ の場合、つまり $k = -\frac{3}{2}$ の場合を考える。

このとき、不等式は $-2(-\frac{3}{2}+1)x - \frac{3}{2}+1 > 0$ となり、$x - \frac{1}{2} > 0$ 、つまり $x > \frac{1}{2}$ となる。

これはすべての $x$ で成り立つわけではないので、$k = -\frac{3}{2}$ は条件を満たさない。

(2) $2k+3 > 0$ の場合、つまり $k > -\frac{3}{2}$ の場合を考える。

このとき、2次関数 $f(x) = (2k+3)x^2 - 2(k+1)x + k+1$ のグラフは下に凸の放物線となる。すべての $x$ に対して $f(x) > 0$ となる条件は、この放物線が $x$ 軸と交わらないこと、つまり判別式 $D$ が負であることである。

判別式 $D$ は

$D = (-2(k+1))^2 - 4(2k+3)(k+1) = 4(k^2 + 2k + 1) - 4(2k^2 + 5k + 3) = 4(k^2 + 2k + 1 - 2k^2 - 5k - 3) = 4(-k^2 - 3k - 2) = -4(k^2 + 3k + 2) = -4(k+1)(k+2)$

である。

$D < 0$ となる条件は、$-4(k+1)(k+2) < 0$ 、つまり $(k+1)(k+2) > 0$ である。

これを解くと、$k < -2$ または $k > -1$ である。

$k > -\frac{3}{2}$ の条件下で、$k < -2$ または $k > -1$ を満たす $k$ の範囲を考えると、

$k > -\frac{3}{2}$ かつ $k < -2$ となる $k$ は存在しない。

$k > -\frac{3}{2}$ かつ $k > -1$ となる $k$ は、$k > -1$ である。

3. 最終的な答え

$k > -1$