与えられた式 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-10}}$ を計算し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-10}}$ を計算し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{-10}$ を虚数単位 $i$ を用いて表します。

$\sqrt{-10} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{10} i$

したがって、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-10}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10} i}$

次に、分母を有理化するために、分母と分子に $-i$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10} i} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10} i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-\sqrt{2} i}{\sqrt{10} (-i^2)} = \frac{-\sqrt{2} i}{\sqrt{10} (1)} = \frac{-\sqrt{2} i}{\sqrt{10}}$

根号の中を整理します。

$\frac{-\sqrt{2} i}{\sqrt{10}} = -i \sqrt{\frac{2}{10}} = -i \sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{i}{\sqrt{5}}$

さらに分母を有理化します。

$-\frac{i}{\sqrt{5}} = -\frac{i}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5} i}{5}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{5}}{5}i$