与えられた複素数の式 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-14}}$ を計算し、最も簡単な形で表現します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-14}}$ を計算し、最も簡単な形で表現します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{-14}$ を虚数単位 $i$ を用いて表現します。

$\sqrt{-14} = \sqrt{14 \times (-1)} = \sqrt{14} \times \sqrt{-1} = \sqrt{14}i$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-14}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}i}$

次に、分母の有理化を行います。分母と分子に $i$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}i} = \frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{14}i^2} = \frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{14}(-1)} = -\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{14}}$

さらに、$\sqrt{14}$ を $\sqrt{2} \times \sqrt{7}$ と分解します。

$-\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{14}} = -\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{2} \times \sqrt{7}} = -\frac{i}{\sqrt{7}}$

最後に、分母の有理化をします。分母と分子に $\sqrt{7}$ を掛けます。

$-\frac{i}{\sqrt{7}} = -\frac{i\sqrt{7}}{\sqrt{7}\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{7}i}{7}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{7}}{7}i$