$x^3 + ax^2 + bx + 6$ が $x^2 + 3x + 2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x^3 + ax^2 + bx + 6$ が $x^2 + 3x + 2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 + 3x + 2$ で $x^3 + ax^2 + bx + 6$ を割ったときの余りが0になるように、 $a, b$ の値を決定します。

まず、$x^2 + 3x + 2$ を因数分解します。

$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$

$x^3 + ax^2 + bx + 6$ が $x^2 + 3x + 2$ で割り切れるためには、$x = -1$ と $x = -2$ を代入したときに0になる必要があります。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 6 = 0$

$-1 + a - b + 6 = 0$

$a - b + 5 = 0$

$a - b = -5$ ...(1)

$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + 6 = 0$

$-8 + 4a - 2b + 6 = 0$

$4a - 2b - 2 = 0$

$4a - 2b = 2$

$2a - b = 1$ ...(2)

(2) - (1) を計算すると、

$(2a - b) - (a - b) = 1 - (-5)$

$a = 6$

(1) に $a = 6$ を代入すると、

$6 - b = -5$

$b = 6 + 5 = 11$

よって、$a = 6$, $b = 11$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 6$

$b = 11$