極座標で表された2点 $A(1, 0)$ と $B(3, \frac{\pi}{3})$ の間の距離を求める問題です。

1. 問題の内容

極座標で表された2点 $A(1, 0)$ と $B(3, \frac{\pi}{3})$ の間の距離を求める問題です。

2. 解き方の手順

極座標 $(r, \theta)$ を直交座標 $(x, y)$ に変換するには、以下の式を使います。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

点Aの直交座標は、

$x_A = 1 \cdot \cos 0 = 1$

$y_A = 1 \cdot \sin 0 = 0$

よって、$A(1, 0)$

点Bの直交座標は、

$x_B = 3 \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$y_B = 3 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

よって、$B(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$

2点間の距離の公式を使って、$AB$ の距離を計算します。

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

$AB = \sqrt{(\frac{3}{2} - 1)^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2} - 0)^2}$

$AB = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2}$

$AB = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{27}{4}}$

$AB = \sqrt{\frac{28}{4}}$

$AB = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}$