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2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$5\alpha$、$5\beta$ を解とする $x^2$ の係数が 1 の2次方程式を求める。

代数学二次方程式解と係数の関係方程式
2025/6/25

1. 問題の内容

2次方程式 x2+2x+3=0x^2 + 2x + 3 = 0 の2つの解を α\alpha、β\beta とするとき、5α5\alpha、5β5\beta を解とする x2x^2 の係数が 1 の2次方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、α+β\alpha + \beta と αβ\alpha\beta を求める。
元の2次方程式 x2+2x+3=0x^2 + 2x + 3 = 0 において、解と係数の関係より、
α+β=−2\alpha + \beta = -2
αβ=3\alpha \beta = 3
次に、5α5\alpha、5β5\beta を解とする2次方程式の係数を求める。
求める2次方程式を x2+ax+b=0x^2 + ax + b = 0 とすると、解と係数の関係より、
5α+5β=−a5\alpha + 5\beta = -a
(5α)(5β)=b(5\alpha)(5\beta) = b
α+β=−2\alpha + \beta = -2 より、
5α+5β=5(α+β)=5(−2)=−105\alpha + 5\beta = 5(\alpha + \beta) = 5(-2) = -10
したがって、a=10a = 10
αβ=3\alpha \beta = 3 より、
(5α)(5β)=25αβ=25(3)=75(5\alpha)(5\beta) = 25\alpha \beta = 25(3) = 75
したがって、b=75b = 75
よって、求める2次方程式は x2+10x+75=0x^2 + 10x + 75 = 0 となる。

3. 最終的な答え

x2+10x+75=0x^2 + 10x + 75 = 0

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