$a$ を定数とする。関数 $y = x^2 - 4x$ ($a \le x \le a+2$) について、以下の問いに答える。 (1) 次の各場合について、最小値を求める。 [1] $a < 0$ [2] $0 \le a \le 2$ [3] $2 < a$ (2) 次の各場合について、最大値を求める。 [1] $a < 1$ [2] $a = 1$ [3] $1 < a$

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = x^2 - 4x$ ($a \le x \le a+2$) について、以下の問いに答える。

(1) 次の各場合について、最小値を求める。

[1] $a < 0$

[2] $0 \le a \le 2$

[3] $2 < a$

(2) 次の各場合について、最大値を求める。

[1] $a < 1$

[2] $a = 1$

[3] $1 < a$

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = x^2 - 4x$ を平方完成する。

$y = (x - 2)^2 - 4$

よって、この関数の頂点は $(2, -4)$ である。

(1) 最小値を求める。

[1] $a < 0$ のとき

定義域は $a \le x \le a+2$ である。

頂点の $x$ 座標は $2$ である。

$a < 0$ より、$a+2$ の値によって場合分けをする。

$a+2 < 2$, つまり $a < 0$ のとき、頂点は定義域の右側にある。

$a \le x \le a+2$ で、$x$ が最小となるのは $x = a+2$ のときである。よって、$x=a+2$ のとき最小値をとる。

$y = (a+2)^2 - 4(a+2) = a^2 + 4a + 4 - 4a - 8 = a^2 - 4$

[2] $0 \le a \le 2$ のとき

頂点 $(2, -4)$ が定義域内にあるので、最小値は $-4$ である。

[3] $2 < a$ のとき

頂点は定義域の左側にあるので、$x = a$ のとき最小値をとる。

$y = a^2 - 4a$

(2) 最大値を求める。

[1] $a < 1$ のとき

軸 $x=2$ から遠い方の端点で最大値をとる。

$a+2 - 2 = a$

$2 - a = 2-a$

$a < 2-a$ となるのは $2a < 2$、つまり $a < 1$ のときである。

よって $x=a$ で最大値をとる。

$y = a^2 - 4a$

[2] $a = 1$ のとき

$1 \le x \le 3$ で、$x = 1$ のとき $y = 1-4=-3$、$x = 3$ のとき $y = 9 - 12 = -3$ なので、最大値は $-3$ である。

[3] $1 < a$ のとき

$a > 1$ より、$a+2 - 2 = a$、 $2-a < 1$ なので、 $x=a+2$ のときに最大値をとる。

$y = (a+2)^2 - 4(a+2) = a^2 - 4$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

[1] $a < 0$ のとき：$a^2 - 4$

[2] $0 \le a \le 2$ のとき：$-4$

[3] $2 < a$ のとき：$a^2 - 4a$

(2) 最大値

[1] $a < 1$ のとき：$a^2 - 4a$

[2] $a = 1$ のとき：$-3$

[3] $1 < a$ のとき：$a^2 - 4$