$a$ を正の実数とする。 (1) 不等式 $|2x-5| \le a$ の解、およびその解を満たす整数 $x$ が6個となるような $a$ の範囲を求める。 (2) 方程式 $x^2 - 4x + 4 = |2x-5|$ について、$x \ge \frac{5}{2}$ および $x < \frac{5}{2}$ の範囲で解を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とする。

(1) 不等式 $|2x-5| \le a$ の解、およびその解を満たす整数 $x$ が6個となるような $a$ の範囲を求める。

(2) 方程式 $x^2 - 4x + 4 = |2x-5|$ について、$x \ge \frac{5}{2}$ および $x < \frac{5}{2}$ の範囲で解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値記号を外すために場合分けを行う。

$|2x-5| \le a$ は $-a \le 2x-5 \le a$ と同値である。

各辺に5を足して $-a+5 \le 2x \le a+5$

各辺を2で割って $\frac{-a+5}{2} \le x \le \frac{a+5}{2}$

不等式を満たす整数 $x$ が6個である条件を考える。

$\frac{a+5}{2} - \frac{-a+5}{2} = a$

$a$ が整数の時、整数解の個数は $a+1$ となるので、$a$は整数でないことが分かる。

$\frac{-a+5}{2}$ が整数 $n$ と $n+1$ の間にある時、$n < \frac{-a+5}{2} \le n+1$

$\frac{a+5}{2}$ が整数 $m$ と $m+1$ の間にある時、$m < \frac{a+5}{2} \le m+1$

整数解が6個なので、$m - n = 5$ である。

この時、$n = \frac{-a+5}{2}, m = \frac{a+5}{2}$ が同時に整数となることはない。

整数解が6個となるには、$\frac{a+5}{2} - \frac{-a+5}{2} = a$ の範囲に整数解が6個存在するので、

$\frac{-a+5}{2}$ が $-0.5$ から $0$ の間にあり、$\frac{a+5}{2}$ が $5$ から $5.5$ の間にあれば良い。

$n < \frac{-a+5}{2} \le n+1$ より、$x \ge \frac{5}{2}$ において整数解が6個となるには

$\frac{-a+5}{2}$ が $-1 \le \frac{-a+5}{2} < 0$ にあれば良く、$0 < a \le 7$

また、$\frac{a+5}{2}$ が $5 \le \frac{a+5}{2} < 6$ にあれば良いので、$5 \le a < 7$ となる。

$\frac{-a+5}{2}$ は整数ではないため、$-1 < \frac{-a+5}{2} \le 0$

$\frac{a+5}{2}$ は整数ではないため、$5 \le \frac{a+5}{2} < 6$

(2) $x \ge \frac{5}{2}$ のとき、$2x-5 \ge 0$ なので、$|2x-5| = 2x-5$

$x^2 - 4x + 4 = 2x - 5$ より、$x^2 - 6x + 9 = 0$ となり、 $(x-3)^2 = 0$

したがって、$x = 3$

$x < \frac{5}{2}$ のとき、$2x-5 < 0$ なので、$|2x-5| = -(2x-5) = -2x+5$

$x^2 - 4x + 4 = -2x + 5$ より、$x^2 - 2x - 1 = 0$

解の公式より、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$x < \frac{5}{2}$ を満たすのは $x = 1+\sqrt{2} \approx 2.414 < 2.5$ および $x = 1-\sqrt{2} \approx -0.414 < 2.5$

したがって、解は2個であり、小さい解は $1-\sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) ア: $\frac{5-a}{2}$ イ: $\frac{5+a}{2}$ ウ: $\frac{5-a}{2}$ エ: $5$ オ: $7$

(2) カ: $3$ キ: $2$ ク: $1$ ケ: $\sqrt{2}$