(1) 放物線 $y = -3x^2 + x - 1$ を平行移動した曲線で、頂点が点 $(-2, 3)$ であるような放物線の方程式を求めます。 (2) 放物線 $y = x^2 - 3x$ を平行移動した曲線で、2点 $(1, 1)$ と $(2, 3)$ を通るような放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = -3x^2 + x - 1$ を平行移動した曲線で、頂点が点 $(-2, 3)$ であるような放物線の方程式を求めます。

(2) 放物線 $y = x^2 - 3x$ を平行移動した曲線で、2点 $(1, 1)$ と $(2, 3)$ を通るような放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動した放物線の方程式は $y = -3(x - p)^2 + q$ と表すことができます。ここで、頂点の座標が $(-2, 3)$ なので、$p = -2$ と $q = 3$ を代入します。

$y = -3(x - (-2))^2 + 3$

$y = -3(x + 2)^2 + 3$

$y = -3(x^2 + 4x + 4) + 3$

$y = -3x^2 - 12x - 12 + 3$

$y = -3x^2 - 12x - 9$

(2) 平行移動した放物線の方程式を $y = (x - p)^2 - 3(x - p) + q$ と表すことができます。

この放物線が $(1, 1)$ と $(2, 3)$ を通るので、それぞれ代入して連立方程式を立てます。

$1 = (1 - p)^2 - 3(1 - p) + q$

$3 = (2 - p)^2 - 3(2 - p) + q$

整理すると

$1 = 1 - 2p + p^2 - 3 + 3p + q$

$3 = 4 - 4p + p^2 - 6 + 3p + q$

$1 = p^2 + p - 2 + q$

$3 = p^2 - p - 2 + q$

$p^2 + p + q = 3$

$p^2 - p + q = 5$

2つの式を引き算すると

$(p^2 + p + q) - (p^2 - p + q) = 3 - 5$

$2p = -2$

$p = -1$

$p = -1$ を $p^2 + p + q = 3$ に代入すると

$(-1)^2 + (-1) + q = 3$

$1 - 1 + q = 3$

$q = 3$

したがって、求める放物線の方程式は

$y = (x - (-1))^2 - 3(x - (-1)) + 3$

$y = (x + 1)^2 - 3(x + 1) + 3$

$y = x^2 + 2x + 1 - 3x - 3 + 3$

$y = x^2 - x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -3x^2 - 12x - 9$

(2) $y = x^2 - x + 1$