問題は2つのパートに分かれています。 パート1では、与えられた自然数の組に対して、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。 パート2では、480の正の約数の個数を求め、$\sqrt{224n}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パート1では、与えられた自然数の組に対して、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。

パート2では、480の正の約数の個数を求め、$\sqrt{224n}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) (36, 42)の最大公約数と最小公倍数を求める。

36と42を素因数分解します。

$36 = 2^2 \times 3^2$

$42 = 2 \times 3 \times 7$

最大公約数は、共通の素因数の最小の指数を取ります。

$GCD(36, 42) = 2 \times 3 = 6$

最小公倍数は、すべての素因数の最大の指数を取ります。

$LCM(36, 42) = 2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = 252$

(2) (45, 72, 120)の最大公約数と最小公倍数を求める。

45, 72, 120を素因数分解します。

$45 = 3^2 \times 5$

$72 = 2^3 \times 3^2$

$120 = 2^3 \times 3 \times 5$

最大公約数は、共通の素因数の最小の指数を取ります。

$GCD(45, 72, 120) = 3$

最小公倍数は、すべての素因数の最大の指数を取ります。

$LCM(45, 72, 120) = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$

(3) 480の正の約数の個数を求める。

480を素因数分解します。

$480 = 2^5 \times 3 \times 5$

約数の個数は、各素因数の指数のそれぞれに1を足して、それらを掛け合わせたものです。

約数の個数 = $(5+1) \times (1+1) \times (1+1) = 6 \times 2 \times 2 = 24$

(4) $\sqrt{224n}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ を求める。

224を素因数分解します。

$224 = 2^5 \times 7$

$\sqrt{224n} = \sqrt{2^5 \times 7 \times n}$

$\sqrt{224n}$ が整数となるためには、$2^5 \times 7 \times n$ が平方数である必要があります。

したがって、$n$ は $2$ と $7$ を少なくとも1つずつ含む必要があります。

$n = 2 \times 7 = 14$

$\sqrt{224 \times 14} = \sqrt{2^6 \times 7^2} = 2^3 \times 7 = 8 \times 7 = 56$

3. 最終的な答え

(1) 最大公約数: 6, 最小公倍数: 252

(2) 最大公約数: 3, 最小公倍数: 360

(3) 24

(4) 14