a, bは自然数で、aを5で割ったときの余りは2、bを5で割ったときの余りは4であるとする。 このとき、次の数を5で割ったときの余りを求めよ。 (7) 2a+3b (8) 2ab

1. 問題の内容

a, bは自然数で、aを5で割ったときの余りは2、bを5で割ったときの余りは4であるとする。

このとき、次の数を5で割ったときの余りを求めよ。

(7) 2a+3b

(8) 2ab

2. 解き方の手順

(7) 2a+3bを5で割ったときの余りを求める。

aを5で割ったときの余りが2なので、$a = 5k + 2$ (kは整数)と表せる。

bを5で割ったときの余りが4なので、$b = 5l + 4$ (lは整数)と表せる。

$2a+3b = 2(5k+2) + 3(5l+4) = 10k + 4 + 15l + 12 = 10k + 15l + 16 = 5(2k+3l+3) + 1$

よって、2a+3bを5で割ったときの余りは1。

(8) 2abを5で割ったときの余りを求める。

$a = 5k + 2$

$b = 5l + 4$

$2ab = 2(5k+2)(5l+4) = 2(25kl + 20k + 10l + 8) = 50kl + 40k + 20l + 16 = 5(10kl + 8k + 4l + 3) + 1$

よって、2abを5で割ったときの余りは1。

3. 最終的な答え

(7) 1

(8) 1