最大公約数が12で、積が2880であるような自然数 $a$, $b$ ($a \le b$) が存在する。 (5) $a$, $b$ の最小公倍数を求めよ。 (6) 与えられた条件を満たす自然数の組 ($a$, $b$) をすべて求めよ。

1. 問題の内容

最大公約数が12で、積が2880であるような自然数 $a$, $b$ ($a \le b$) が存在する。

(5) $a$, $b$ の最小公倍数を求めよ。

(6) 与えられた条件を満たす自然数の組 ($a$, $b$) をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(5)

最大公約数を $G$, 最小公倍数を $L$, 2つの自然数を $a$, $b$ とすると、

$ab = GL$ という関係が成り立つ。

問題文より $G=12$, $ab=2880$ なので、

$2880 = 12L$

$L = 2880 / 12 = 240$

よって、最小公倍数は 240 である。

(6)

$a$, $b$ の最大公約数が12なので、$a = 12x$, $b = 12y$ と表せる。ここで、$x$, $y$ は互いに素な自然数であり、$x \le y$ である。

$ab = (12x)(12y) = 144xy = 2880$

$xy = 2880 / 144 = 20$

$x$ と $y$ は互いに素なので、 ($x$, $y$) の組み合わせは

(1, 20), (4, 5)

したがって、($a$, $b$) の組み合わせは

(12*1, 12*20) = (12, 240)

(12*4, 12*5) = (48, 60)

3. 最終的な答え

(5) 240

(6) (12, 240), (48, 60)